Conjunt perfecte

En topologia, un conjunt perfecte és un subconjunt tancat tal que tots els seus punts són punts d'acumulació (és a dir, el conjunt manca de punts aïllats).

Caracterització

Siga S un conjunt i S′ el conjunt dels seus punts d'acumulació. Note's que un conjunt S d'un espai topològic és tancat quan $S^{\prime }\subseteq S$, és a dir, quan $S$ conté tots els seus punts d'acumulació. Dos conjunts S i T estan separats quan són disjunts i quan els conjunts derivats, formats pels seus punts d'acumulació, també són disjunts. En aquestes condicions, el conjunt S és un conjunt perfecte si S = S′. Això equival a la definició original, un conjunt és perfecte si és un conjunt tancat sense punts aïllats.

Propietats

• Els conjunts perfectes són importants en les aplicacions del teorema de categories de Baire.
• Un conjunt perfecte d'${ℝ}^n$ és necessàriament no numerable.
• El conjunt X^º dels punts de condensació d'X és un conjunt perfecte, i.e. tancat i dens.

Exemples

• En $ℝ$, qualsevol unió finita d'intervals tancats de la forma $[a_i,b_i]\subset R$ és un conjunt perfecte.
• El conjunt de Cantor és un conjunt perfecte i, per tant, no numerable.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre