Convolució de distribucions de probabilitat

La convolució (o producte de convolució) de dues distribucions de probabilitat és una operació entre distribucions de probabilitat que dóna com a resultat una altra distribució de probabilitat. Si ambdues distribucions tenen funció de densitat, aleshores la convolució queda determinada per la convolució ordinària de les funcions de densitat. Quan les distribucions estan concentrades en els nombres enters, llavors és redueix a una convolució discreta de les funcions de probabilitat. Des del punt de vista de les probabilitats, la propietat essencial de la convolució és que la distribució de la suma de dues variables aleatòries independents és la convolució de les distribucions de les variables. La convolució és important en Estadística matemàtica, per exemple, en l'estimació de densitats; i en Teoria de la probabilitat té un paper essencial en l'estudi de les distribucions infinitament divisibles.

Aquest article està dividit en dues parts. A la primera s'estudien la convolució de densitats i la convolució discreta, i a la segona el cas general.

Convolució de funcions de densitat i convolució discreta

Convolució de funcions de densitat

Començarem tractant el cas més senzill i important on les dues distribucions de probabilitat tenen funció de densitat. Siguin $f_1$ i $f_2$ dues funcions de densitat. Es defineix la convolució de $f_1$ i $f_2$ Plantilla:Sfn , que es designa per $f_1*f_2$ , a la funció

$$f_1*f_2(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(x-u)f_2(u)du=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_2(x-v)f_1(v)dv,(1)$$que és una funció de densitat. La igualtat entre ambdues integrals s'obté fent el canvi $v=x-u$ a la primera integral (la variable $x$ està fixada en aquestes integrals). De fet, en (1) s'hauria d'escriure $(f_1*f_2)(x)$, però per simplificar l'escriptura s'omet el primer parèntesis. De l'expressió (1) es veu que la convolució és commutativa: $$f_1*f_2=f_2*f_1.$$Exemple 1. Siguin $f_1$ i $f_2$ dues densitats uniformes en l'interval [0,1]: $$f_1(x)=f_2(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si}x\in [0,1],\\ \\ 0,& \text{altrament}.\end{array}$$Vegeu la figura 1. Aleshores, $$f_1*f_2(x)=\{\begin{array}{cc}x,& \text{si}x\in [0,1),\\ \\ 2-x,& \text{si}x\in [1,2],\\ \\ 0,& \text{altrament}.\end{array}$$Vegeu la figura 2. Aquesta densitat s'anomena densitat triangular.

Figura 1. Funcions de densitat $f_1$ i $f_2$

Figura 2. Funció de densitat $f_1*f_2$

Convolució i independència

Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents, amb funcions de densitat $f_X$ i $f_Y$ respectivament. Aleshores la variable aleatòria $X+Y$ té funció de densitat $f_X*f_Y$.

Continuació de l'Exemple 1. Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents amb distribució uniforme en l'interval [0,1]. Aleshores $X+Y$ té la distribució triangular que hem vist a l'exemple 1.
Propietat associativa i potència enèsima de convolució

Siguin $X,Y$ i $Z$ tres variables aleatòries independents, amb densitat. Del fet que $(X+Y)+Z=X+(Y+Z)$ es dedueix que la convolució és associativa: $$(f_1*f_2)*f_3=f_1*(f_2*f_3).$$Aquesta propietat permet definir sense ambigüitat la potència enèsima de convolució d'una densitat $f$: $$f^{*n}=f*\cdots *f.$$També s'escriu $f^{n*}$ .

Exemple 2. Siguin $X_1,\dots ,X_n$ variables aleatòries independents totes amb distribució uniforme en l'interval [0,1], com a l'exemple 1, amb funció de densitat $$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si}x\in [0,1],\\ \\ 0,& \text{altrament}.\end{array}$$La distribució de $S_n=X_1+\dots +X_n$ s'anomena distribució d'Irwin-Hall que té densitat donada per $f^{*n}$ , que val $$f^{*n}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{(n-1)!}\sum _{j=0}^n(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(x-j{)}_{+}^{n-1},& \text{si}x\in [0,n],\\ \\ 0,& \text{altrament,}\end{array}$$ on, per a un nombre real $r$ i un nombre natural $m$ ,$$(r{)}_{+}^m=\{\begin{array}{cc}{r}^m,& \text{si}r>0,\\ 0,& \text{si}r\le 0.\end{array}$$

Convolució discreta

Considerem dues distribucions de probabilitat sobre els nombres naturals (zero inclòs) donades per les funcions de probabilitat (o de repartiment de massa) $p_1$ i $p_2$, això es, $p_1,p_2:\mathbb{N}\to [0,1]$ , tals que $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_1(n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_2(n)=1$. Aleshores es defineix la seva convolució Plantilla:Sfn per $$p_1*p_2(n)=p_1(0)p_2(n)+p_1(1)p_2(n-1)+\cdots +p_1(n)p_2(0)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_1(k)p_2(n-k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_2(k)p_1(n-k).(2)$$

Exemple 3. Siguin $p_1$ i $p_2$ dues funcions de probabilitat iguals corresponents a una distribució uniforme en el conjunt $\{1,2,\dots ,6\}$: $$p_1(1)=\cdots =p_2(6)=\frac{1}{6}.$$Aleshores $p_1*p_2$ està concentrada en el conjunt $\{2,3,\dots ,12\}$ amb probabilitats:$$p_1*p_2(2)=\sum _{k=1}^6{p}_1(k)p_2(2-k)=p_1(1)p_2(1)=\frac{1}{36}.$$$$p_1*p_2(3)=\sum _{k=1}^6{p}_1(k)p_2(3-k)=p_1(2)p_2(1)+p_1(1)p_2(2)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.$$De manera similar es completa la taula:

$n$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$p_1*p_2(n)$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{36}$

Observacions.

1. La definició de convolució discreta es pot estendre a distribucions de probabilitat sobre els nombres enters: en aquest cas, les distribucions de probabilitat estaran donades per les funcions de probabilitat $p_1,p_2:\mathbb{Z}\to [0,1]$ , tals que $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{p}_1(n)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{p}_2(n)=1$. Llavors$$p_1*p_2(n)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{p}_1(n-k)p_2(k)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{p}_2(n-k)p_1(k),n\in \mathbb{Z}.$$
2. En general, si considerem dues successions de nombres $𝒂=(a_0,a_1,\dots )$ i $𝒃=(b_0,b_1,\dots )$, sigui $$c_n=a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+\cdots a_n{b}_0=\sum _{j=0}^n{a}_j{b}_{n-j},n=0,1,\dots$$ Aleshores es diu que la successió $𝒄=(c_0,c_1,\dots )$ és la convolució de les successionsPlantilla:Sfn $𝒂$ i $𝒃$ i s'escriu$$𝒄=𝒂*𝒃.$$

Com en els cas de variables aleatòries amb densitat tenim

Propietat. Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents que només prenen valors enters, amb funcions de probabilitat $p_X$ i $p_Y$ respectivament. Aleshores la variable aleatòria $X+Y$ té funció de probabilitat $p_X*p_Y$.

Continuació de l'Exemple 3. Tirem dos daus i siguin $X$ i $Y$ el resultat que surt. Evidentment, $X$ i $Y$ són independents. Llavors, la funció de probabilitat de $X+Y$ serà la que hem vist a l'Exemple 3.

Definició general

En aquest apartat donarem la definició general de convolució de distribucions de probabilitat; més endavant recuperarem els dos casos particulars anteriors, i veurem també la definició en termes de funcions de distribució. Cal remarcar que es pot definir la convolució de dues mesures a $(ℝ,ℬ(ℝ))$ que no cal que siguin probabilitats; vegeu, per exemple, Schilling Plantilla:Sfn, però en aquest article ens limitarem al cas de probabilitats.

Recordem que una distribució de probabilitat $P$ a $ℝ$ és una mesura de probabilitat a l'espai mesurable $(ℝ,ℬ(ℝ))$, on $ℬ(ℝ)$ és la $\sigma$ -àlgebra de Borel sobre $ℝ$, és a dir, $P:ℬ(ℝ)\to [0,1]$ , tal que $P(ℝ)=1$ i és $\sigma$-additiva: Si $A_1,A_2\dots \in ℬ(ℝ)$ són disjunts dos a dos, $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$ , si $i\ne j$ , aleshores$$P\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_n).$$

Definició. Plantilla:Sfn Donades dues distribucions de probabilitat a $ℝ$, $P_1$ i $P_2$, la seva convolució o producte de convolució és la distribució de probabilitat a $ℝ$ definida per $$P_1*P_2(A)=\underset{ℝ}{\int }{P}_1(A-x)d{P}_2(x)=\underset{ℝ}{\int }{P}_2(A-x)d{P}_1(x),A\in ℬ(ℝ),(3)$$on$$A-x=\{a-x,a\in A\}.$$

De manera, equivalent Plantilla:Sfn , $$P_1*P_2(A)=\underset{{ℝ}^2}{\iint }{1}_A(x+y)d{P}_1(x)d{P}_2(y),(4)$$ on$$1_C(z)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }z\in C,\\ 0,& \text{en cas contrari},\end{array}$$ és la funció indicador d'un conjunt $C$.

La convolució com a mesura imatge de la funció suma. D'altra banda, de (4) es dedueix que $P_1*P_2$ és la mesura imatge de la mesura producte $P_1\times P_2$ per la funció suma $S(x,y)=x+y$. Vegeu les definicions i notacions de la mesura producte a la pàgina Teorema de Fubini.

Integració respecte d'una convolució. Sigui $h:ℝ\to ℝ$ una funció mesurable, positiva o integrable respecte $P_1*P_2$. Aleshores, de la propietat anterior i del teorema de la mesura imatge, $$\underset{ℝ}{\int }hd(P_1*P_2)=\underset{{ℝ}^2}{\int }h(x+y)d(P_1\times P_2)(x,y)=\underset{{ℝ}^2}{\iint }h(x+y)d{P}_1(x)d{P}_2(y).(5)$$

Propietat fonamental: Convolució i suma de variables aleatòries independents.

Sigui $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P})$ un espai de probabilitat. Donada una variable aleatòria $Z$, la seva distribució $P_Z$ és la distribució de probabilitat a $ℝ$ definida per $$P_Z(A)=\mathbb{P}(\{Z\in A\}),A\in ℬ(ℝ).$$

Propietat. Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents. Aleshores $$P_{X+Y}=P_X*P_Y.$$

Plantilla:Caixa desplegable

Observació. Donada una distribució de probabilitat $P$, sempre es pot construir un espai de probabilitat i una variable aleatòria $X$ tal que $P=P_X$ . Això permet definir la convolució a partir de la suma de variables independents Plantilla:Sfn.

La convolució és commutativa i associativa $$P_1*P_2=P_2*P_1\text{i}(P_1*P_2)*P_3=P_1*(P_2*P_3).$$Com en el cas de les funcions de densitat, es defineix la potència enèsima de convolució de $P$ per $$P^{*n}=P*\cdots *P.$$Convolució i funcions característiques. Recordem que la funció característica d'una distribució de probabilitat $P$ és la funció ${\phi }_P:ℝ\to ℂ$ definida per $${\phi }_P(t)=\underset{ℝ}{\int }{e}^{itx}dP(x),t\in ℝ.$$Una propietat molt important de la convolució és que la funció característica d'una convolució és el producte de les funcions característiques:$${\phi }_{P_1*P_2}(t)={\phi }_{P_1}(t){\phi }_{P_2}(t),\text{per a qualsevol }t\in ℝ.$$Aquesta propietat es deriva directament de (5).

Relacions amb les altres nocions de convolució

Convolució de funcions de densitat.

Si les distribucions de probabilitat $P_1$ i $P_2$ tenen funcions de densitat $f_1$ i $f_2$ respectivament, aleshores $P_1*P_2$ té funció de densitat $f_1*f_2$ , és a dir, $$P_1*P_2(A)=\underset{A}{\int }{f}_1*f_2(v)dv,\text{per a qualsevol}A\in ℬ(ℝ).$$

Convolució discreta

Suposem que les distribucions de probabilitat $P_1$ i $P_2$ estiguin concentrades en els nombres naturals, amb funcions de probabilitat respectives $p_1$ i $p_1$, això és, $$P_1(\{n\})=P_1(n)\text{i}{P}_2(\{n\})=p_2(n),n\in \mathbb{N}.$$Aleshores la funció de probabilitat de $P_1*P_2$ és $p_1*p_2$ donada a (2).

Convolució d'una funció de densitat i una distribució

Definició. Plantilla:Sfn Donada una funció de densitat $f_1$ i una distribució de probabilitat $P_2$ es defineix la convolució $f_1*P_2$ per $$f_1*P_2(x)=\underset{ℝ}{\int }{f}_1(x-y)d{P}_2(y).$$

Propietat. Suposem que la distribució de probabilitat $P_1$ té funció de densitat $f_1$ i sigui $P_2$ una altra distribució de probabilitat. Aleshores $P_1*P_2$ té funció de densitat $f_1*P_2$. És a dir, $$P_1*P_2(A)=\underset{A}{\int }(f_1*P_2)(x)dx,A\in 𝔹(ℝ).$$Exemple 4. Sigui $P_1$ una distribució uniforme (contínua) en l'interval [0,1] (vegeu l'Exemple 1 més amunt), i $P_2$ una distribució uniforme (discreta) en el conjunt $\{0,1\}$ . Aleshores $P_1*P_2$ té una densitat donada per $$f_1*P_2(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(x-y)d{P}_2(y)=\frac{1}{2}{f}_1(x)+\frac{1}{2}{f}_1(x-1)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2},& \text{si}x\in [0,2]\\ 0,& \text{altrament}.\end{array}$$Per tant, es tracta d'una distribució uniforme (contínua) en [0,2]. Des del punt de vista probabilístic, si $X$ té una distribució uniforme en [0,1] i $Y$ una distribució uniforme discreta en $\{0,1\}$, i són independents, aleshores la funció de distribució de $X+Y$ és$F_{X+Y}(t)=\mathbb{P}(X+Y\le t)=\frac{1}{2}\mathbb{P}(X+Y\le t|Y=0)+\frac{1}{2}\mathbb{P}(X+Y\le t|Y=1)=\frac{1}{2}\mathbb{P}(X\le t)+\frac{1}{2}\mathbb{P}(X+1\le t).$

Llavors,

• Si $t<0$, $F_{X+Y}(t)=0$.
• Si $t\in [0,1]$, $F_{X+Y}(t)=\frac{1}{2}t$.
• Si $t\in [1,2]$, llavors $$F_{X+Y}(t)=\frac{1}{2}(t-1)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}t.$$
• Si $x>2$, $F_{X+Y}(t)=1$.

Que és la funció de distribució d'una distribució uniforme en l'interval [0,2].

Més generalment, tenim la següent propietat

Propietats de suavitzacióPlantilla:Sfn . Sigui $P_1$ una distribució de probabilitat amb funció de densitat $f_1$ i $P_2$ una altra distribució de probabilitat. Suposem que $f_1$ és $n$ vegades diferenciable i $$|f_1^{(j)}(x)|<C_j,\mathrm{\forall }x\in ℝ,j=1,\dots ,n.$$Aleshores la densitat de $P_1*P_2$, que d'acord amb la propietat anterior és $f_1*P_2$, és $n-1$ vegades diferenciable i compleix $$|(f_1*P_2{)}^{(j)}(x)|<C_j,\mathrm{\forall }x\in ℝ,j=1,\dots ,n-1,$$i si la derivada d'ordre $n$ també existeix, llavors$$|(f_1*P_2{)}^{(n)}(x)|<C_n,\mathrm{\forall }x\in ℝ.$$

Convolució de funcions de distribució

Hi ha una correspondència bijectiva entre les distribucions de probabilitat i les funcions de distribució. No és estrany que hi hagi autors que prefereixin definir la convolució mitjançant funcions de distribució. La correspondència a la que ens referíem és la següent: Si $F$ és una funció de distribució, defineix una distribució de probabilitat per la fórmula $$P((a,b])=F(b)-F(a),\text{per a qualsevols }a\le b.$$Recíprocament, donada una distribució de probabilitat $P$ a $ℝ$, es defineix una funció de distribució$F$ mitjançant $$F(x)=P((-\mathrm{\infty },x]),x\in ℝ.$$Sigui $F$ una funció de distribució corresponent a una distribució de probabilitat $P$ i $h:ℝ\to ℝ$ una funció mesurable positiva o $P$-integrable. Aleshores es denota la integral de Lebesgue-Stieltjes de $h$ respecte de $F$ per$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(x)dF(x),$ i tenim que$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(x)dF(x)=\underset{ℝ}{\int }h(x)dP(x).$$Definició. Plantilla:Sfn Plantilla:Sfn Donades dues funcions de distribució $F_1$ i $F_2$ es defineix la seva convolució per$$F_1*F_2(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_1(x-y)d{F}_2(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_2(x-y)d{F}_1(y).$$Òbviament, tenim que si $F_1$ i $F_2$ són les funcions de distribució de $P_1$ i $P_2$ respectivament, aleshores $F_1*F_2$ és la funció de distribució de $P_1*P_2$. És a dir, per a qualsevol $t\in ℝ$, $$F_1*F_2(t)=P_1*P_2((-\mathrm{\infty },t]).$$

Convolució d'una funció de densitat i una funció de distribució

Definició. Sigui $f_1$ una funció de densitat i $F_2$ una funció de distribució. Es defineix la convolució $f_1*F_2$ per $$f_1*F_2(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(x-y)d{F}_2(y).$$

Naturalment, com en la situació anterior, si $F_1$ i $F_1$ són dues funcions de distribució i $F_1$ té densitat $f_1$, aleshores $F_1*F_2$ té densitat $f_1*F_2$.
Comentari. Tal com diu Hoffmann-Jorgensen Plantilla:Sfn, és inconsistent utilitzar el mateix símbol $*$ per diferents convolucions, però aquesta és la tradició.

Convolució en el cas multidimensional

La convolució de dues distribucions de probabilitat a ${ℝ}^n$ es defineix exactament igual com en el cas unidimensional, vegeu Plantilla:Sfn per a les propietats i les seves demostracions.

Vegeu també

• Convolució

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre