Cua d'una distribució de probabilitat

En teoria de probabilitats i en estadística, la cua d'una distribució de probabilitat és el comportament de la distribució de probabilitat a l'àrea lluny del seu valor central.

En un vocabulari més estadístic, és habitual parlar de cua d'una distribució.

Història i relació amb la curtosi

La cua d'una distribució està lligada a la seva curtosi. Aquest coeficient de curtosi dona la concentració dels valors al voltant del valor central de la distribució i, per tant, la concentració dels valors extrems, és a dir, lluny de la mediana.Plantilla:Sfn Per a la curtosi zero, es diu que la corba es mesocúrtica i és equivalent a la de la distribució normal. Per a la curtosi negativa, es diu que la corba és platicúrtica i la cua és lleugera (de fet, més lleugera que la distribució normal); mentre que per a una curtosi positiva es diu que la corba és leptocúrtica i la cua és pesada (més pesada que la distribució normal).Plantilla:Sfn

• 
  Corba leptocúrtica (curtosi positiu)
• 
  Corba mesocúrtica (curtosi zero)
• 
  Corba platicúrtica (curtosi negatiu

L'any 1908, com a dispositiu mnemotècnic, William Gosset va dibuixar dos dibuixos amb un ornitorrinc per a les corbes platicúrtiques i dos cangurs per a les corbes leptocúrtiques.Plantilla:Sfn El terme cua (tail en anglès) prové de les cues d'aquests dos animals.

Definicions

Considereu una llei de probabilitat $\mathbb{P}$, la funció de distribució del qual ve donada per$F(x)=\mathbb{P}(X\le x)$.

La «funció de cua»Plantilla:Sfn de la distribució $\mathbb{P}$ és la funció $\overline{F}(x)=1-F(x)=\mathbb{P}(X>x)$.

La distribució $\mathbb{P}$ es diu que té una «propietat de cua»Plantilla:Sfn si la funció Plantilla:Mvar té una propietat que només depèn del conjunt de valors $\{\overline{F}(x)\text{ per }x\ge x_0\}$ per a tot $x_0$ finit.

És possible comparar les cues de dues distribucions de probabilitat. Es diu que dues lleis de les respectives funcions de distribució Plantilla:Mvar i Plantilla:Mvar tenen «cues equivalents» si:Plantilla:Sfn

$\frac{\overline{F}(x)}{\overline{G}(x)}\to c\in ]0,\mathrm{\infty }[$ quan $x\to +\mathrm{\infty }$

Tipus de cues

Distribució de cua gruixuda

Es diu que una distribució de probabilitat és «cua gruixuda»Plantilla:Sfn o de «cua pesada»Plantilla:Sfn si la seva funció de distribució verifica:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\lambda x}\mathrm{d}\bar{F}(x)=\mathrm{\infty }$ per a tot $\lambda >0$.

En cas contrari la distribució s'anomena de «cua fina» o de «cua lleugera».

Distribució de cua llarga

Cua llarga representada en groc

Es diu que una distribució de probabilitat té una «cua llarga» o una «cua arrossegada» si el suport de la seva funció de distribució no està acotat i si per a tot Plantilla:MathPlantilla:Sfn

$\frac{\overline{F}(x+y)}{\overline{F}(x)}\to 1$ per a tot $x\to +\mathrm{\infty }$.

Les distribucions de cua llarga són les mateixes distribucions de cua pesada.Plantilla:Sfn

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació