Demostració que e és irracional

En matemàtica, el desenvolupament en sèrie del nombre e

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$

pot ser utilitzat per a provar que e és un nombre irracional.

Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b. Considerem el nombre

$x:=b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}).$

Mostrem que la suposició per a l'absurd implica simultàniament que $0<x<1$ i que $x$ és un nombre enter. Això és impossible, i aquesta contradicció estableix la irracionalitat de "e".

• Per a veure que x és un nombre enter, notem que

$x$	$=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=a(b-1)!-b!\cdot \sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}$

Ara, per a tot n tal que $0\le n\le b$, hom veu que $b!$ és divisible per a $n!$, ja que

$b!\cdot \sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}$ és un nombre enter positiu. Com a conseqüència, puix que $a\cdot (b-1)!\in \mathbb{N}$ també, $x\in \mathbb{Z}$, és a dir, x és un nombre enter.

• Per a veure que x és un nombre positiu inferior a 1, notem que $x=b!\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$ car

$x=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)}+\cdots$

$<\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1{)}^2}+\frac{1}{(b+1{)}^3}+\cdots =\frac{1}{b}\le 1$

Aquí, la darrera suma és una sèrie geomètrica. Puix que no existeixen nombres enters positius més petits que 1, hem obtingut una contradicció. Això acaba la demostració.

Quod erat demonstrandum