Derivada (exemples)

Plantilla:Moure a Viquillibres Vegeu derivada per informació més general.

La derivada és una funció matemàtica, més precisament una funció de funcions, ja que pren com a argument d'entrada una funció i retorna una altra funció, generalment diferent.

Exemples a partir de la definició de derivada basada en un límit

Funció constant

Sigui c un nombre real.

Es considera la funció constant f de valor c:

\forall x \in ℝ, \forall h \in ℝ^{*}, \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{c - c}{h} = 0

per tant

\forall x \in ℝ, f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = 0

.

Així la derivada d'una funció constant és la funció nul·la.

Funció potència enèsima

Sigui la funció f:

$f (x) = x^{n}$ definida sobre $I$

$h = 0$

$\forall a \in I, \forall (a + h) \in I$

$t (h) = \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

$t (h) = \frac{(a + h)^{n} - a^{n}}{h}$

$t (h) = \frac{(a^{n} + n a^{n - 1} h + p_{3} a^{n - 2} h^{2} + p_{4} a^{n - 3} h^{3} . . . p_{n} a h^{n - 1} + p_{n + 1} h^{n}) - a^{n}}{h}$

On els coeficients $p_{i}$ venen donats pel triangle de Tartaglia ( $p_{1} = 1$ i $p_{2} = n$ ). Els $a^{n}$ s'anul·len, i se simplifica per $h$ .

$t (h) = n a^{n - 1} + p_{3} a^{n - 2} h + p_{4} a^{n - 3} h^{2} . . . p_{n} a h^{n - 2} + p_{n + 1} h^{n - 1}$

Per tant: $f^{'} (a) = \lim_{h \to 0} t (h) = n a^{n - 1}$

Nota: funciona per a tot n i permet trobar les derivades de les funcions inversa i arrel enèsima. Tanmateix si n < 2 llavors la funció no és derivable en 0.

Funció quadrat

Es considera la funció f definida sobre $ℝ$ per

\forall x \in ℝ, f (x) = x^{2}

\forall x \in ℝ, \forall h \in ℝ^{*}, \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}

= \frac{(x + h - x) (x + h + x)}{h} = \frac{h (2 x + h)}{h} = 2 x + h

per tant

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (2 x + h) = 2 x

la derivada de f és per tant la funció f' definida per

\forall x \in ℝ, f^{'} (x) = 2 x

.

Funció arrel

Es considera la funció f=√x

\forall x \in ℝ_{+}^{*}, \forall h \in ℝ^{*}, h > - x, \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}

= \frac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x}) (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}

= \frac{x + h - x}{h (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}

per tant

\forall x \in ℝ_{+}^{*}, f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

D'altra banda,

\forall h \in ℝ_{+}^{*}, \frac{f (h) - f (0)}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}

$\lim_{h \to 0} \frac{f (h) - f (0)}{h} = + \infty$

per tant f no és derivable en 0 i la seva gràfica admet en 0 una semi tangent vertical.

Exemples a partir de les fórmules de derivació

Heus aquí una sèrie d'exemples de derivades calculades a partir de les fórmules establertes pel mètode amb el límit.

Segon grau

Es consideren les funcions següents i tot seguit es presenta el procés de càlcul de les seves derivades:

1. $y = x^{2} + 5 x - 3$

2. $y = 3 x^{2} - 9 x + \frac{2}{3}$

3. $y = - 4 x^{2} + \frac{4}{7} x - 1$

Derivació: 1. $y = x^{2} + 5 x - 3$

$y^{'} = (x^{2})^{'} + (5 x)^{'} - (3)^{'}$

$y^{'} = 2 x + 5 + 0$

$y^{'} = 2 x + 5$

2. $y = 3 x^{2} - 9 x + \frac{2}{3}$

$y^{'} = (3 x^{2})^{'} - (9 x)^{'} + (\frac{2}{3})^{'}$

$y^{'} = 6 x - 9 + 0$

$y^{'} = 6 x - 9$

3. $y = - 4 x^{2} + \frac{4}{7} x - 1$

$y^{'} = (- 4 x^{2})^{'} + (\frac{4}{7} x)^{'} - (1)^{'}$

$y^{'} = - 8 x + \frac{4}{7} - 0$

$y^{'} = - 8 x + \frac{4}{7}$

Tercer grau

Es consideren les funcions següents i tot seguit es presenta el procés de càlcul de les seves derivades:

1. $y = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + \frac{9}{π}$

2. $y = - x^{3} - 5 x^{2} + \frac{2}{3} x - 1$

3. $y = \frac{5}{17} x^{3} + x^{2} - 2 x + e$

Derivades:

1. $y = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + \frac{9}{π}$

$y^{'} = (2 x^{3})^{'} + (6 x^{2})^{'} - (4 x)^{'} + (\frac{9}{π})$

$y^{'} = 6 x^{2} + 12 x - 4 + 0$

$y^{'} = 2 (3 x^{2} + 6 x - 2)$

2. $y = - x^{3} - 5 x^{2} + \frac{2}{3} x - 1$

$y^{'} = - (x^{3})^{'} - (5 x^{2})^{'} + (\frac{2}{3} x) - (1)^{'}$

$y^{'} = - 3 x^{2} - 10 x + \frac{2}{3} - 0$

$y^{'} = - 3 x^{2} - 10 x + \frac{2}{3}$

3. $y = \frac{5}{17} x^{3} + x^{2} - 2 x + e$

$y^{'} = (\frac{5}{17} x^{3}) + (x^{2})^{'} - (2 x)^{'} + (e)^{'}$

$y^{'} = \frac{5 \times 3 x^{2}}{17} + 2 x - 2 + 0$

$y^{'} = \frac{15 x^{2}}{17} + 2 x - 2$

Funció potència real

Sia la funció y :

y (x) = a x^{b} a = 0, b \in ℝ

Llavors, la derivada n-èsima de y ve donada, sobre intervals convenients, per :

\forall n \in ℕ^{*} : y^{(n)} (x) = a \prod_{k = 0}^{n - 1} (b - k) \cdot x^{b - n}

Plantilla:Viccionari-lateral

Derivada (exemples)

Contingut

Exemples a partir de la definició de derivada basada en un límit

Funció constant

Funció potència enèsima

Funció quadrat

Funció arrel

Exemples a partir de les fórmules de derivació

Segon grau

Tercer grau

Funció potència real

Menú de navegació

Derivada (exemples)

Exemples a partir de la definició de derivada basada en un límit

Funció constant

Funció potència enèsima

Funció quadrat

Funció arrel

Exemples a partir de les fórmules de derivació

Segon grau

Tercer grau

Funció potència real

Menú de navegació

Cerca