Derivada covariant exterior

Diagrama de recuperació de la derivada covariant del transport paral·lel per a una connexió en un fibrat vectorial

En el camp matemàtic de la geometria diferencial, la derivada covariant exterior és una extensió de la noció de derivada exterior a la configuració d'un fibrat principal diferenciable o fibrat vectorial amb una connexió.

Definició

Sigui G un grup de Lie i Plantilla:Nowrap un grup G principal en una varietat llisa M. Suposem que hi ha una connexió a P ; això produeix una descomposició natural de suma directa $T_{u}P=H_u\oplus V_u$ de cada espai tangent als subespais horitzontal i vertical. Sigui $h:T_{u}P\to H_u$ la projecció al subespai horitzontal.

Si ϕ és una forma k a P amb valors en un espai vectorial V, aleshores la seva derivada covariant exterior Dϕ és una forma definida per

$D\varphi (v_0,v_1,\dots ,v_k)=d\varphi (h{v}_0,h{v}_1,\dots ,h{v}_k)$

on v _i són vectors tangents a P en u.

Suposem que Plantilla:Nowrap és una representació de G en un espai vectorial V. Si ϕ és equivariant en el sentit que

$R_g^{*}\varphi =\rho (g{)}^{-1}\varphi$

on $R_g(u)=ug$, aleshores Dϕ és un [[Forma tensorial|tensorial Plantilla:Nowrap]] [[Forma tensorial|Plantilla:Nowrap -forma]] sobre P del tipus ρ : és equivariant i horitzontal (una forma ψ és horitzontal si Plantilla:Nowrap.)

Per abús de notació, el diferencial de ρ a l'element d'identitat es pot denotar de nou per ρ :

$\rho :𝔤\to 𝔤𝔩(V).$

Sigui $\omega$ la connexió d'una forma i $\rho (\omega )$ la representació de la connexió en $𝔤𝔩(V).$ Això és, $\rho (\omega )$ és un $𝔤𝔩(V)$ -forma valorada, desapareixent en el subespai horitzontal. Si ϕ és una k -forma tensorial de tipus ρ, aleshores

$D\varphi =d\varphi +\rho (\omega )\cdot \varphi ,$

on, seguint la notació en àlgebra de Lie, vam escriure

$(\rho (\omega )\cdot \varphi )(v_1,\dots ,v_{k+1})=\frac{1}{(1+k)!}\sum _{\sigma }\mathrm{sgn}(\sigma )\rho (\omega (v_{\sigma (1)}))\varphi (v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k+1)}).$

A diferència de la derivada exterior habitual, que quadra a 0, la derivada covariant exterior no ho fa. En general, es té, per a una forma tensorial zero ϕ ,

$D^2\varphi =F\cdot \varphi .$

on Plantilla:Nowrap és la representació a $𝔤𝔩(V)$ de la curvatura de dues formes Ω. La forma F de vegades es coneix com el tensor de la força de camp, en analogia amb el paper que juga en l'electromagnetisme. Tingueu en compte que D ² s'esvaeix per a una connexió plana (és a dir, quan Plantilla:Nowrap ).

Si Plantilla:Nowrap, llavors es pot escriure

$\rho (\mathrm{\Omega })=F=\sum {F^i}_j{e^j}_i$

on ${e^i}_j$ és la matriu amb 1 a l'entrada Plantilla:Nowrap i zero a les altres entrades. La matriu ${F^i}_j$ les entrades de les quals són 2-formes a P s'anomena matriu de curvatura.