Geometria diferencial

En matemàtiques, la geometria diferencial és la utilització de les eines del càlcul diferencial a l'estudi de la geometria. Els objectes d'estudi són les varietats diferencials, que tenen una estructura suficient per poder introduir la noció de derivació, i també, les funcions definides en aquestes varietats.

La geometria diferencial troba la seva principal aplicació física en la teoria de la relativitat on permet la modelització d'una curvatura de l'espaitemps. Es pot igualment citar altres aplicacions de la física clàssica. En la mecànica dels medis continus, per exemple, és útil en la descripció de les deformacions dels cossos elàstics, en particular, de les bigues o de les estructures.

Història i desenvolupament

La història i el desenvolupament de la geometria diferencial com a tema comencen, pel cap baix, en l'antiguitat clàssica. Va fortament lligat al desenvolupament de la geometria més en general, a la noció de l'espai i de la forma, i a la topologia, especialment a l'estudi de les varietats. Aquesta secció està centrada principalment en la història de l'aplicació de mètodes infinitesimals a la geometria, i posteriorment a les idees d'espai tangent fins a arribar al desenvolupament del formalisme modern del tema en termes de tensors i camps tensorials.

Antiguitat clàssica fins al Renaixement (300 a.C - 1600 d.C.)

L'estudi de la geometria diferencial, o com a mínim l'estudi de la geometria de formes diferenciables, pot remuntar-se fins a, pel cap baix, l'antiguitat clàssica. En particular, se sabia força sobre la geometria de la Terra, una geometria esfèrica, en els temps dels matemàtics de la Grècia antiga. Notablement, Eratòstenes va calcular la circumferència de la Terra al voltant de l'any 200 a.C., i al voltant del 150 d.C., Ptolemeu en la seva obra Geographia, va introduir la projecció estereogràfica per poder mapejar la forma de la Terra. De forma implícita al llarg d'aquest període, els principis que formen els fonaments de la grometria i el càlcul diferencial van ser usats en el camp de la geodèsica, tot i que d'una manera molt simplificada. En particular, ja en els Elements d'Euclides s'entenia que la línia recta es podia definir amb la propietat de proporcionar la distància més curta entre dos punts; i aplicant el mateix principi a la superfície de la Terra s'arribava a la conclusió que els cercles màxims, que només són similars a línies rectes del pla a nivell local, proporcionen el camí més curt entre dos punts de la superfície de la Terra. En efecte, es pot considerar que les mesures d'Eratòstenes, entre d'altres, de distàncies al llarg de tals camins geodèsics com una mesura rudimentària de la longitud d'arc de corbes, un concepte que no va tenir una definició rigorosa en termes de càlcul fins al segle XVII.

Al voltant d'aquella època, hi havia poques aplicacions manifestes de la teoria infinitesimal en l'estudi de la geometria, precursors de l'estudi modern del tema basat en el càlcul. En els Elements d'Euclides, es parla de la noció de tangencialitat d'una línia respecte d'un cercle, i Arquimedes va aplicar el mètode d'exhaustió per calcular les àrees de formes suaus com ara el cercle, i els volums de sòlids tridimensionals suaus com l'esfera, els cons i els cilindres.

No hi va haver gaire desenvolupament en la teoria de la geometria diferencial entre l'antiguitat i els inicis del Renaixement. Abans del desenvolupament del càlcul, de la mà de Newton i Leibniz, l'avenç més significatiu en el camp de la geometria diferencial va venir de Gerardus Mercator i la seva projecció com a manera de mapejar la Terra. Mercator entenia les avantatges i els inconvenients del seu disseny de mapes, i en particular era conscient de la naturalesa conformal (que preserva angles) de la seva projecció, així com les diferències entre praga (les línies de distància més curtaa la Terra) i directio (la línia recta en el seu mapa). Mercator va observar que les praga eren curvatures oblíqües en la seva projecció. Aquest fet reflexa la falta d'un mapa que preservi distància de la superfície de la Terra a un pla, una conseqüència del posterior teorema egregi de Gauss.

Després del càlcul (1600–1800)

Un cercle osculador d'una corba en el pla

El primer tractament sistemàtic i rigorós a la geometria utilitzant la teoria d'infinitesimals i nocions del càlcul va arribar al voltant del 1600, quan es va desenvolupar per primer cop el càlcul de la mà de Gottfried Leibniz i Isaac Newton. En aquest moment, l'obra recent de René Descartes, incloses les coordenades analítiques, en el camp de la geometria va permetre que formes geomètriques de més complexitat es poguessin descriure amb rigor. En particular, en aquells moments, Pierre de Fermat, Newton i Leibniz van començar l'estudi de corbes en el pla i la recerca de conceptes com punt d'inflexió o cercle osculador, que van ajudar a mesurar la curvatura. En efecte, ja en el seu primer article Nova Methodus pro Maximis et Minimis sobre els fonaments del càlcul, Leibniz va observar que la condició inifnitesimal $d^{2}y=0$ indica l'existència d'un punt d'inflexió. Poc després d'això, la família Bernoulli, Jakob i Johann van fer unes primeres contribucions remarcables en l'ús dels infinitesimals en l'estudi de la geometria. En classes de Johann Bernoulli d'aquella època, més tard transcrites per L'Hôpital a Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, el primer llibre de càlcul diferencial, es calcules les rectes tangents a corbes planes de diferents tipus utilitzant la condició $dy=0$, i de forma similar, també es calculen punts d'inflexió. En aquest mateix moment s'adonen de l'ortogonalitat entre els cercles osculadors d'una corba plana i la direcció tangent, i s'escriu la primera fórmula analítica del radi d'un cercle osculador, essencialment la primera fórmula analítica per a la noció de curvatura. Plantilla:Inacabat

Punts de vista intrínsecs i extrínsecs

Fins a mitjans del Plantilla:Segle, la geometria diferencial tenia essencialment un punt de vista extrínsec respecte de les varietats trobades, això significa que eren definides com un subconjunt d'un espai vectorial (normalment ${ℝ}^n$). Per exemple, s'estudiava les propietats d'una corba en el pla, o d'una superfície en l'espai de dimensió tres (geometria diferencial clàssica).

Els treballs de Bernhard Riemann van introduir una visió intrínseca de les varietats, constantment desenvolupada posteriorment. A partir d'aleshores, són considerades com un objecte en si mateix, i no com a part d'un altre. Ja no té sentit voler sortir de la varietat, perquè per ella sola ja té prou consistència, independentment de qualsevol noció d'espai circumdant i, per tant, es podrà donar un sentit a les nocions de tangència,curvatura, etc.

El punt de vista intrínsec té l'avantatge de ser molt més flexible que el punt de vista extrínsec, ni que sigui pel fet que no obliga a trobar un espai que pugui contenir la varietat considerada, cosa que a vegades pot ser difícil. Per exemple, l'ampolla de Klein és una superfície (és a dir, una varietat de dimensió 2) però per tal de submergir-la en un espai circumdant cal escollir ${ℝ}^4$. Fins i tot, no és evident que es pugui trobar un espai continent de l'espaitemps corbat. Tanmateix, la flexibilitat guanyada es tradueix en una major abstracció i dificultat per poder definir nocions geomètriques com la curvatura, o topològiques com la connexitat.

Explicació matemàtica

La geometria diferencial abasta l'anàlisi i l'estudi de diferents conceptes:

• l'estudi de varietats
• els fibrats tangents i cotangents
• les formes diferencials
• les derivades exteriors
• les integrals de les P-formes sobre les P-varietats
• el teorema de Stokes
• les derivades de Lie
• la curvatura

Tots aquests conceptes estan relacionats amb l'anàlisi de variables múltiples, però, en les aplicacions geomètriques, cal raonar sense preferir un determinat sistema de coordenades. Aquesta diversitat de conceptes de la geometria diferencial es pot veure dins la naturalesa geomètrica de la derivada segona, és a dir, en les característiques de la curvatura.

Una varietat diferencial en un espai topològic és un conjunt d'homeomorfismes dels conjunts oberts en una esfera unitària ${ℝ}^n$, tals que els conjunts oberts cobreixen l'espai i que si $f,g$ són homeomorfismes llavors la funció $f^{-1}\circ g$ d'un subconjunt obert de l'esfera unitària cap a l'esfera oberta unitària és infinitament diferenciable. És a dir, que la funció d'una varietat cap a R és infinitament diferenciable si la composició de cada homeomorfisme és el resultat d'una funció infinitament diferenciable a partir de l'esfera unitària a R.

En cada punt de la varietat es troba un espai tangent en aquest punt, constituït per totes les velocitats (direcció i intensitat) possibles i amb les quals és possible apartar-se d'aquest punt. Per a una varietat n-dimensional, l'espai tangent en cada un dels punts és un espai vectorial de n dimensions o, en altres termes, una còpia de ${ℝ}^n$. L'espai tangent té diverses definicions. Una definició possible és l'espai vectorial dels camins que passen per aquest punt, factoritzat per la relació d'equivalència que identifica dos camins que tenen el mateix vector velocitat en aquest punt (és a dir, la mateixa derivada si s'opera amb qualsevol identificador).

Un camp de vectors és una funció d'una variable respecte la unió disjunta dels seus espais tangents (la unió amb si mateixa és una varietat coneguda com el fibrat tangent) de forma que, en cada punt, el valor obtingut és un element de l'espai tangent en aquest punt. Una tal relació s'anomena secció d'una fibrat. Un camp vectorial és diferenciable si per a cada funció diferenciable, l'aplicació del camp en cada punt produeix una funció diferenciable. Els camps vectorials poden ser percebuts com a equacions diferenciables independents del temps. Una funció diferenciable dels reals sobre la varietat és una corba de la varietat. Això defineix una funció dels reals sobre els espais tangents: la velocitat de la corba en cada un dels punts que la constitueixen. Una corba és una solució del camp vectorial si, per a cada punt, la velocitat de la corba és igual al camp vectorial en aquest punt.

Una k-forma lineal alternada és un element de la $k^e$ potència d'un tensor antisimètric de l'espai dual $E^{*}$ d'un espai vectorial $E$. Una k-forma diferencial d'una varietat és una opció, en cada punt de la varietat, de la dita k-forma alternada on $E$ és l'espai tangent en aquest punt. Serà diferenciable si el resultat després d'una operació sobre $k$-camps vectorials diferenciables és una funció diferenciable de la varietat cap als reals.

Branques de la topologia i de la geometria diferencials

Geometria de les varietats de contacte

És semblant a la geometria simplèctica que treballa amb les varietats que tenen dimensió senar. A grans trets, l'estructura de contacte d'una varietat de dimensió $(2n+1)$ és una tria d'una forma diferencial $\alpha$ tal que $\alpha \wedge (d\alpha {)}^n$ no s'anul·la en cap punt.

Geometria de Finsler

La geometria de Finsler, deguda al matemàtic suís Paul Finsler, fa de la varietat de Finsler el seu principal objecte d'estudi. És una varietat diferencial proveïda de la mètrica de Finsler, això és una norma de Banach definida en cada espai tangent. La mètrica de Finsler dona una estructura més general que la mètrica de Riemann.

Geometria de Riemann

La geometria de Riemann estudia les varietats de Riemann, varietats amb una estructura suplementària que les fa aparèixer com l'espai euclidià amb un punt de vista infinitesimal. Permeten generalitzar la noció de la geometria euclidiana i l'anàlisi del gradient d'una funció, la divergència, la longitud de la corba, etc. sense sortir del principi que l'espai és globalment simètric.

Topologia simplèctica

Tracta de les varietats simplèctiques, això és, varietats diferenciables proveïdes d'una forma simplèctica.

Aplicacions

A continuació es llisten alguns exemples de com s'ha aplicat la geometria diferencial en altres camps de la ciència i de les matemàtiques.

• En física, la geometria diferencial té moltes aplicacions, com ara:
  • La geometria diferencial és el llenguatge en què s'expressa la teoria general de la relativitat d'Albert Einstein. Segons la teoria, l'univers és una varietat diferenciable equipada amb una mètrica pseudo-riemanniana, que descriu la curvatura de l'espai-temps. Entendre aquesta curvatura és essencial per al posicionament de satèl·lits en òrbita al voltant de la Terra. La geometria diferencial també és indispensable en l'estudi de les lents gravitatòries i dels forats negres.
  • S'utilitzen formes diferencials en l'estudi de l'electromagnetisme.
  • La geometria diferencial té aplicacions tant en la mecànica lagrangiana com en la mecànica hamiltoniana. Es poden utilitzar les varietat simplèctiques en particular per estudiar els sistemes hamiltonians.
  • La geometria riemanniana la geometria de contacte s'han utilitzat per construir el formalisme de la geometrotermodinàmica que té aplicacions en la termodinàmica clàssica en equilibri.
• En química i en biofísica, quan es modela l'estructura de la membrana cel·lular sota pressió variable.
• En economia, la geometria diferencial té aplicacions en el camp de l'econometria.
• El modelatge geomètric (inclosa la computació gràfica) i el disseny assistit per ordinador es basen en idees de la geometria diferencial.
• En enginyeria, la geometria diferencial es pot aplicar per resoldre problemes en processament de senyals digitals.
• En teoria del control, es pot utilitzar la geometria diferencial per analitzar controladors no lineals, especialment en control geomètric
• En probabilitat, estadística, i teoria de la informació, es poden interpretar diverses estructures com a varietats riemannianes, donant lloc al camp de la geometria de la informació, especialment a través de la mètrica de Fisher.
• En geologia estructural, s'utilitza la geometria diferencial per analitzar i descriure estructures geològiques.
• En visió artificial, s'utilitza la geometria diferencial per analitzar les formes.
• En processament d'imatges, la geometria diferencial s'utilitza per processar i analitzar dades en superfícies no planes.
• La demostració de Grigori Perelman de la conjectura de Poincaré utilitzant les tècniques del flux de Ricci va demostrar el potencial del plantejament basat en geometria diferencial per a problemes de la topologia i va remarcar el paper importnat que van tenir eles mètodes analítics.
• En comunicacions sense fil, s'utlitzen varietats grassmannianes en tècniques de conformació de feixos en sistemes de múltiples antenes.
• En geodèsia, per calcular les distàncies i angles en la superfícies del nivell del mar de la Terra, es modela a partir d'un el·lipsoide en revolució.

Bibliografia

• A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volums), 3a Edició de Michael Spivak (1999)
• Differential Geometry of Curves and Surfaces de Manfredo do Carmo (1976).
• Riemannian Geometry de Manfredo do Carmo, Francis Flaherty (1994)
• Geometry from a Differentiable Viewpoint de John McCleary (1994)
• A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry de Ethan D. Bloch (1996)
• Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. d'Alfred Gray (1998)

Vegeu també

• Topologia
• Fibrat vectorial
• Varietat de Riemann
• Geometria no-euclidea
• Topologia symplèctica
• Geometria de contacte
• Grup de Lie
• Relativitat general

Enllaços externs

• Curs de corbes i superfícies Plantilla:Webarchive Plantilla:Pdf
• Galeria d'imatges Plantilla:Webarchive
• Notes sobre la géométrie diferencial Plantilla:Webarchive Plantilla:Pdf