Derivada feble

En matemàtiques, una derivada feble és una generalització del concepte de derivada d'una funció (derivada forta) per a funcions no derivables, sinó només integrables, és a dir que pertanyen a l'Espai de Lebesgue $L^1([a,b])$. Vegeu distribucions per a una definició fins i tot més general.

Definició

Sia $u$ una funció en l'espai de Lebesgue $L^1([a,b])$. Es Diu que $v$ en $L^1([a,b])$ és un derivada feble de $u$ si

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(t){\phi }^{\prime }(t)dt=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(t)\phi (t)dt$

per a tota funció infinitament derivable $\phi$ amb $\phi (a)=\phi (b)=0$. Aquesta definició està motivada per la tècnica d'integració d'integració per parts.

Generalitzant a n dimensions, si $u$ i $v$ pertanyen a l'espai $L_{loc}^1(U)$ de funcions localment integrables per a algun conjunt obert $U\subset {ℝ}^n$, i si $\alpha$ és un multiíndex, es diu que $v$ és la derivada feble ${\alpha }^{essima}$ de $u$ si

$\underset{U}{\int }u{D}^{\alpha }\phi =(-1{)}^{|\alpha |}\underset{U}{\int }v\phi$

per a tot $\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(U)$, és a dir, per a tota funció infinitament diferenciables $\phi$ amb suport compacte en $U$. Si $u$ té uns derivada feble, aquesta s'escriu sovint $D^{\alpha }u$ ja que les derivades febles són úniques (com a mínim, tret d'un conjunt de mesura zero, vegeu més avall).

Exemples

• La funció valor absolut u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, que no és diferenciable a t = 0, té una derivada feble v coneguda com la funció signe donada per

$\begin{array}{cccc}v:& [-1,1]& \to & [-1,1]\\ & t& \mapsto & v(t)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }t>0;\\ 0,& \text{si }t=0;\\ -1,& \text{si }t<0.\end{array}\end{array}$

Aquesta no és l'única derivada feble per a u: qualsevol w que sigui igual a v gairebé a tot arreu és també un derivada feble de u. Normalment, això no és un problema, ja que en la teoria de espais L^p i espais de Sóbolev, les funcions que són iguals gairebé a tot arreu s'identifiquen.

• La funció característica dels nombres racionals $1_{\mathbb{Q}}$ no és diferenciable enlloc però té una derivada feble a tot arreu. Com que la mesura de Lebesgue dels nombres racionals és zero,

$\int 1_{\mathbb{Q}}(t)\phi (t)dt=0$

Així $v(t)=0$ és el derivada feble de $1_{\mathbb{Q}}$. Fixeu-vos que això està d'acord amb la intuïció ja que quan es considera com a membre d'un espai Lp, $1_{\mathbb{Q}}$ s'identifica amb la funció zero.

Propietats

Si dues funcions són derivades febles de la mateixa funció, són iguals excepte en un conjunt amb mesura de Lebesgue zero, és a dir, són iguals gairebé a tot arreu. Si es consideren classes d'equivalència de funcions, on dues funcions són equivalents si són iguals gairebé a tot arreu, llavors la derivada feble és única.

També, si u és diferenciable en el sentit convencional llavors la seva derivada feble és idèntica (en el sentit donat a dalt) a la seva derivada convencional (forta). Així la derivada feble és una generalització de la forta. A més, les regles clàssiques per a les derivats de sumes i productes de funcions també es compleixen per a la derivada feble.

Extensions

Aquest concepte causa a les solucions febles en espais de Sóbolev, que són útils per a problemes d'equacions diferencials i en anàlisi funcional.

Vegeu també

• Subderivada

Referències

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre