Desigualtat de Sobolev

En matemàtiques, hi ha en l'anàlisi matemàtica una classe de desigualtats de Sobolev, relacionant normes incloses les dels espais de Sobolev. Aquests s'utilitzen per demostrar el teorema d'incrustació de Sobolev, donant inclusions entre determinats espais de Sobolev, i el teorema de Rellich–Kondrachov que mostra que en condicions una mica més fortes alguns espais de Sobolev estan incrustats de manera compacta en altres. Reben el nom de Sergei Lvovich Sobolev.

Teorema d'inserció de Sobolev

Representació gràfica de les condicions d'incrustació. L'espai Plantilla:Math, representat per un punt blau en el punt Plantilla:Math, s'incrusta en els espais indicats per punts vermells, tot situat en una línia amb pendent Plantilla:Math. El cercle blanc a Plantilla:Math indica la impossibilitat d'incrustacions òptimes a Plantilla:Math.

Plantilla:Math denoten l'espai de Sobolev que consisteix en totes les funcions de valor real de Plantilla:Math les derivades febles de les quals fins a l'ordre Plantilla:Mvar són funcions de Plantilla:Math. Aquí Plantilla:Mvar és un nombre enter no negatiu i Plantilla:Math. La primera part del teorema d'inserció de Sobolev estableix que si Plantilla:Math, Plantilla:Math i Plantilla:Math són dos nombres reals tals que

$\frac{1}{p}-\frac{k}{n}=\frac{1}{q}-\frac{\ell }{n},$

(donat $n$, $p$, $k$ i $\ell$ això és satisfet per a alguns $q\in [1,\mathrm{\infty })$ proporcionat $(k-\ell )p<n$ ), aleshores

$W^{k,p}({𝐑}^n)\subseteq W^{\ell ,q}({𝐑}^n)$

i la incrustació és contínua: per a cadascú $f\in W^{k,p}({𝐑}^n)$, un té $f\in W^{l,q}({𝐑}^n)$, i

$(\underset{{𝐑}^n}{\int }|{\mathrm{\nabla }}^{\ell }f{|}^q{)}^{\frac{1}{q}}\le C(\underset{{𝐑}^n}{\int }|{\mathrm{\nabla }}^{k}f{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}.$

En el cas especial de Plantilla:Math i Plantilla:Math, la incrustació de Sobolev dóna

$W^{1,p}({𝐑}^n)\subseteq L^{p^{*}}({𝐑}^n)$

on Plantilla:Math és el conjugat de Sobolev de Plantilla:Mvar, donat per

$\frac{1}{p^{*}}=\frac{1}{p}-\frac{1}{n}$

i per a cadascú $f\in W^{1,p}({𝐑}^n)$, un té $f\in L^{p^{*}}({𝐑}^n)$ i

$(\underset{{𝐑}^n}{\int }|f{|}^{p_{*}}{)}^{1-\frac{n}{p}}\le C\underset{{𝐑}^n}{\int }|{\mathrm{\nabla }}^{k}f{|}^p.$

Aquest cas especial de la incrustació de Sobolev és una conseqüència directa de la desigualtat Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. El resultat s'ha d'interpretar com dient que si una funció $f$ en $L^p({𝐑}^n)$ té una derivada a $L^p$, doncs $f$ ell mateix ha millorat el comportament local, és a dir, pertany a l'espai $L^{p^{*}}$ on $p^{*}>p$. (Tingueu en compte que $1/p^{*}<1/p$, de manera que $p^{*}>p$.) Així, qualsevol singularitat local en $f$ ha de ser més suau que per a una funció típica $L^p$.

Si la línia de la imatge de dalt talla l'eix y a s = r + α, la incrustació en un espai de Hölder Plantilla:Math (vermell) es manté. Els cercles blancs indiquen punts d'intersecció en què les incrustacions òptimes no són vàlides.

La segona part del teorema d'incrustació de Sobolev s'aplica a les incrustacions en els espais d'Hölder Plantilla:Math. Si Plantilla:Math

$\frac{1}{p}-\frac{k}{n}=-\frac{r+\alpha }{n},\text{ o, equivalentment, }r+\alpha =k-\frac{n}{p}$

amb Plantilla:Math llavors es té la incrustació

$W^{k,p}({𝐑}^n)\subset C^{r,\alpha }({𝐑}^n).$

En altres paraules, per a cadascú $f\in W^{k,p}({𝐑}^n)$ i $x,y\in {𝐑}^n$, un té $f\in C^r({𝐑}^n)$, a més,

$|{\mathrm{\nabla }}^{r}f(x)-{\mathrm{\nabla }}^{r}f(y)|\le C(\underset{{𝐑}^n}{\int }|{\mathrm{\nabla }}^{k}f{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}|x-y{|}^{\alpha }.$

Aquesta part de la incrustació de Sobolev és una conseqüència directa de la desigualtat de Morrey. Intuïtivament, aquesta inclusió expressa el fet que l'existència de suficients derivades febles implica una certa continuïtat de les derivades clàssiques. Si $\alpha =1$ aleshores $W^{k,p}({𝐑}^n)\subset C^{r,\gamma }({𝐑}^n)$ per a cadascú $\gamma \in (0,1)$.

En particular, sempre que $pk>n$, el criteri d'inserció es mantindrà amb $r=0$ i algun valor positiu de $\alpha$. És a dir, per a una funció $f$ activat ${ℝ}^n$, si $f$ té $k$ derivats en $L^p$ i $pk>n$, ja que $f$ serà continu (i en realitat Hölder continu amb algun exponent positiu $\alpha$).