Distribució F

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat En Teoria de probabilitat i Estadística, la distribució F és la distribució de probabilitat definida del quocient de dues variables aleatòries independents amb distribucions khi quadrat, cadascuna dividida pel seu nombre de graus de llibertat. També se la coneix com a distribució F de Snedecor (per George Snedecor) o com a distribució F de Fisher-Snedecor. És fonamental en molts contrasts d'hipòtesis, especialment en els de l'Anàlisi de la variància. La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.

Definició, funció de densitat i funció de distribució

Sigui $S_1\sim {\chi }_{d_1}^2$ i $S_2\sim {\chi }_{d_2}^2$ , independents, amb $d_1>0$ i $d_2>0$. La variable aleatòria $$X=\frac{S_1/d_1}{S_2/d_2}$$es diu que segueix una distribució $F$ amb $d_1$ i $d_2$ graus de llibertat.. S'escriu $X\sim F(d_1,d_2)$.

La seva funció de densitat és$$f(x)=\frac{d_1^{d_1/2}{d}_2^{d_2/2}}{B(d_1/2,d_2/2)}\frac{x^{d_1/2-1}}{(d_{1}x+d_2{)}^{(d_1+d_2)/2}},x>0,$$on $B(a,b)$ és la funció beta.

La funció de distribució per a $x\ge 0$ es pot escriure $$F(x)=I_{m(x)}(d_1/2,d_2/2),\text{amb}m(x)=\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2},$$on $I_{\alpha }(a,b)$ és una funció beta incompleta regularitzada. Per a $x<0$ , $F(x)=0$ .

Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució ${\chi }^2$ és quan el nombre $d$ de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de $d$ variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució ${\chi }^2$ que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu $d\in (0,\mathrm{\infty })$, nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució. En conseqüència, pot definir-se la distribució $F$ amb graus de llibertat qualsevol nombres $d_1,d_2\in (0,\mathrm{\infty })$.

Funció característica

Phillips dona la següent expressió de la funció característica de $X\sim F(d_1,d_2)$: $$\phi (t)=\frac{\mathrm{\Gamma }((d_1+d_2)/2)}{\mathrm{\Gamma }(d_2/2)}U(\frac{d_1}{2},1-\frac{d_2}{2},it\frac{d_2}{d_1}),$$on $U(a,b,z)$ és la funció hipergeomètrica confluent de 2a. classe. Vegeu Johnson et al. per a un desenvolupament en sèrie de la funció característica.

Moments

Sigui $X\sim F(d_1,d_2)$. Llavors $X$ té moment d'ordre $n$ si i només si $n<d_2/2$ . En aquest cas,

$$E[X^n]=\frac{d_2^n}{d_1^n}\frac{\mathrm{\Gamma }(d_1/2+n)\mathrm{\Gamma }(d_2/2-n)}{\mathrm{\Gamma }(d_1/2)\mathrm{\Gamma }(d_2/2)}=\frac{d_2^n}{d_1^n}\frac{d_1(d_1+2)\cdots (d_1+2n-2)}{(d_2-2)(d_2-4)\cdots (d_2-2n)}.$$ En particular, si $d_2>2$, llavors $X$ te esperança i val $$E[X]=\frac{d_2}{d_2-2}.$$ Si $d_2>4$, $X$ te moment de 2n ordre $$E[X^2]=\frac{d_2^2(d_1+2)}{d_1(d_2-2)(d_2-4)}$$ i $$\text{Var}(X)=\frac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2{)}^2(d_2-4)}.$$

Entropia

$$h=\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{d_1}{2}\right)+\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{d_2}{2}\right)-\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)+(1-\frac{d_1}{2})\psi (1+\frac{d_1}{2})-(1+\frac{d_2}{2})\psi (1+\frac{d_2}{2})+\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)\psi \left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)+\ln \frac{d_1}{d_2},$$ on $\psi (z)$ és la funció digamma. Vegeu Lazo and Rathie.

Vegeu també

• Test F