Distribució binomial negativa estesa

Plantilla:Distribució de probabilitat En probabilitat i estadística, la distribució binomial negativa estesa és una distribució de probabilitat discreta que amplia la distribució binomial negativa. Es tracta d'una versió truncada de la distribució binomial negativa per a la qual s'han estudiat mètodes d'estimació.

Una variable aleatòria X de la distribució binomial negativa estesa de paràmetres m, r i p s'escriurà : $X\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(m,r,p)$.

En el context de la ciència actuarial, la distribució apareix en la seva forma general en un document de K. Hess, A. Liewald i K.D. Schmidt, on els autors caracteritzen les distribucions mitjançant l'extensió de la iteració de Panjer. Per al cas Plantilla:Math, la distribució ja va ser discutida per Willmot i es va posar en una família parametritzada amb la distribució logarítmica i la distribució binomial negativa per H.U. Gerber.

Funció de massa de probabilitat

Per un nombre natural Plantilla:Math i els paràmetres reals Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar amb Plantilla:Math i Plantilla:Math, funció de massa de probabilitat de la distribució ExtNegBin(Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar) està donada per

$f(k;m,r,p)=0\text{ per a }k\in \{0,1,\dots ,m-1\}$

i

$f(k;m,r,p)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})p^k}{(1-p{)}^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+r-1}{j})p^j}\text{per }k\in \mathbb{N}\text{ amb }k\ge m,$

on

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+r)}{k!\mathrm{\Gamma }(r)}=(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-r}{k})(1)$

és el coeficient binomial (generalitzat) i Plantilla:Math és la funció gamma.

Funció generadora de probabilitat

Usant Plantilla:Math per a Plantilla:Math(0, 1] és també una funció de massa de probabilitat, on es dedueix que la funció generadora de probabilitat ve donada per

$\begin{array}{cc}\phi (s)& =\sum _{k=m}^{\mathrm{\infty }}f(k;m,r,p)s^k\\ & =\frac{(1-ps{)}^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+r-1}{j})(ps{)}^j}{(1-p{)}^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+r-1}{j})p^j}\text{per }|s|\le \frac{1}{p}.\end{array}$

Pel cas important Plantilla:Math, per tant Plantilla:Math(–1, 0), es pot simplificar en

$\phi (s)=\frac{1-(1-ps{)}^{-r}}{1-(1-p{)}^{-r}}\text{per }|s|\le \frac{1}{p}.$