Distribució de Fréchet

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat La distribució de Fréchet, també coneguda com a distribució inversa de Weibull, és un cas especial de la distribució de valors extrems generalitzada. Té la funció de distribució acumulada^[1]

$\Pr (X \leq x) = e^{- x^{- α}} si x > 0 .$

on α>0 és un paràmetre de forma. Es pot generalitzar per incloure un paràmetre de localització m (el mínim) i un paràmetre d'escala s>0 amb la funció de distribució acumulada

$\Pr (X \leq x) = e^{- {(\frac{x - m}{s})}^{- α}} si x > m .$

Anomenat així per Maurice Fréchet, que va escriure un article relacionat el 1927,^[2] Fisher i Tippett van fer més treballs el 1928 i Gumbel el 1958.^[3]^[4]

Característiques

El paràmetre únic Fréchet amb paràmetre $α$ té moment estandarditzat

$μ_{k} = \int_{0}^{\infty} x^{k} f (x) d x = \int_{0}^{\infty} t^{- \frac{k}{α}} e^{- t} d t,$

(amb $t = x^{- α}$ ) definit només per a $k < α$ :

$μ_{k} = Γ (1 - \frac{k}{α})$

on $Γ (z)$ és la funció Gamma.

En hidrologia, la distribució de Fréchet s'aplica a esdeveniments extrems com ara les precipitacions màximes anuals d'un dia i els cabals fluvials. La imatge blava, feta amb CumFreq, il·lustra un exemple d'ajust de la distribució de Fréchet a les pluges màximes anuals d'un dia classificades a Oman i mostra també el cinturó de confiança del 90% basat en la distribució binomial. Les freqüències acumulades de les dades de pluja es representen traçant posicions com a part de l'anàlisi de freqüències acumulades.

En l'anàlisi de la corba de declivi, la distribució de Fréchet pot descriure un patró decreixent de les dades de sèrie temporal de la taxa de producció de petroli o gas al llarg del temps per a un pou.

En Economia s'utilitza per modelar el component idiosincràtic de les preferències dels individus per a diferents productes (Organització Industrial), ubicacions (Economia Urbana) o empreses (Economia Laboral).