Distribució de Kent

Tres conjunts de punts mostrats de la distribució de Kent. Les direccions mitjanes es mostren amb fletxes. El paràmetre $\kappa$ és el més alt per al conjunt vermell.

En estadístiques direccionals, la distribució de cinc paràmetres de Fisher-Bingham o distribució de Kent, batejada amb el nom de Ronald Fisher, Christopher Bingham i John T. Kent, és una distribució de probabilitats en l'esfera unitat bidimensional $S^2$en ${ℝ}^3$. És l'analogic de l'esfera unitat bidimensional de la distribució normal bivariada amb una matriu de covariància no restringida. La distribució de Kent va ser proposada per John T. Kent el 1982, i es fa servir tant en geologia com en bioinformàtica.

La funció de densitat de probabilitat $f(𝐱)$ de la distribució de Kent ve donada per:

$f(𝐱)=\frac{1}{\text{c}(\kappa ,\beta )}\exp \{\kappa {\mathit{\gamma }}_1^T\cdot 𝐱+\beta [({\mathit{\gamma }}_2^T\cdot 𝐱{)}^2-({\mathit{\gamma }}_3^T\cdot 𝐱{)}^2]\}$

on $𝐱$ és un vector unitat de tres dimensions, $(.{)}^T$ denota la transposició de $(.)$, i la constant normalitzadora $\text{c}(\kappa ,\beta )$ és:

$c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(j+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(j+1)}{\beta }^{2j}{\left(\frac{1}{2}\kappa \right)}^{-2j-\frac{1}{2}}{I}_{2j+\frac{1}{2}}(\kappa )$

on $I_v(\kappa )$ és la funció modificada de Bessel i $\mathrm{\Gamma }(.)$ és la funció gamma. S'ha de tenir en compte que $c(0,0)=4\pi$ i $c(\kappa ,0)=4\pi ({\kappa }^{-1})\sinh (\kappa )$, la constant normalitzadora de la distribució de Von Mises-Fisher.

El paràmetre $\kappa$ (amb $\kappa >0$) determina la concentració o la propagació de la distribució, mentre que $\beta$ (amb $0\le 2\beta <\kappa$) determina l'el·lipticitat dels contorns d'igual probabilitat. Com més grans siguin els paràmetres $\kappa$ i $\beta$, més concentrada i el·líptica serà la distribució, respectivament. El vector ${\gamma }_1$ és la direcció mitjana, i els vectors ${\gamma }_2,{\gamma }_3$ són els eixos major i menor. Els dos últims vectors determinen l'orientació dels contorns de probabilitat iguals a l'esfera, mentre que el primer vector determina el centre comú dels contorns. La matriu 3 × 3 $({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)$ha de ser ortogonal.

Generalització a dimensions més altes

La distribució de Kent es pot generalitzar fàcilment a esferes de dimensions més altes. Si $x$ és un punt de l'esfera d'unitat $S^{p-1}$ en ${ℝ}^p$, llavors la funció de densitat de la distribució de Kent $p$-dimensional és proporcional a:

$\exp \{\kappa {\mathit{\gamma }}_1^T\cdot 𝐱+\sum _{j=2}^p{\beta }_j({\mathit{\gamma }}_j^T\cdot 𝐱{)}^2\},$

on $\sum _{j=2}^p{\beta }_j=0$ i $0\le 2|{\beta }_j|<\kappa$ i els vectors $\{{\mathit{\gamma }}_j\mid j=1\dots p\}$ són ortonormals. Tanmateix, la constant de normalització esdevé molt difícil treballar per a $p>3$.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació