Distribució de Landau

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat En teoria de probabilitats, la distribució de Landau és una distribució de probabilitat anomenada després de Lev Landau. A causa de la cua "grossa" de la distribució, els moments de la distribució, com la mitjana o la variància, no estan definits. La distribució és un cas particular de distribució estable.

Definició

La funció de densitat de probabilitat, tal com va escriure originalment Landau, es defineix per la integral complexa:

$p(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{a-i\mathrm{\infty }}{\overset{a+i\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{s\log (s)+xs}ds,$

on a és un nombre real positiu arbitrari, el que significa que el camí d'integració pot ser qualsevol paral·lel a l'eix imaginari, tallant el semieix positiu real, i $\log$ fa referència al logaritme natural. En altres paraules, és la transformada de Laplace de la funció $s^s$.

$p(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t\log (t)-xt}\sin (\pi t)dt.$

La família completa de distribucions Landau s'obté ampliant la distribució original a una família a escala de localització de distribucions estables amb paràmetres. $\alpha =1$ i $\beta =1$, amb funció característica:

$\phi (t;\mu ,c)=\exp (it\mu -\frac{2ict}{\pi }\log |t|-c|t|)$

on $c\in (0,\mathrm{\infty })$ i $\mu \in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, que dona una funció de densitat:

$p(x;\mu ,c)=\frac{1}{\pi c}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}\cos (t\left(\frac{x-\mu }{c}\right)+\frac{2t}{\pi }\log \left(\frac{t}{c}\right))dt,$

Presa $\mu =0$ i $c=\frac{\pi }{2}$ obtenim la forma original de $p(x)$ a dalt.