Distribució de cosinus elevat

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitatEn teoria i estadística de probabilitats, la distribució de cosinus elevat és una distribució de probabilitat contínua recolzada en l'interval $[\mu -s,\mu +s]$. La funció de densitat de probabilitat (PDF) és

$f(x;\mu ,s)=\frac{1}{2s}[1+\cos \left(\frac{x-\mu }{s}\pi \right)]=\frac{1}{s}\mathrm{hvc}\left(\frac{x-\mu }{s}\pi \right)$ per $\mu -s\le x\le \mu +s$ i zero en cas contrari. La funció de distribució acumulada (CDF) és

$F(x;\mu ,s)=\frac{1}{2}[1+\frac{x-\mu }{s}+\frac{1}{\pi }\sin \left(\frac{x-\mu }{s}\pi \right)]$ per $\mu -s\le x\le \mu +s$ i zero per $x<\mu -s$ i unitat per $x>\mu +s$.

Els moments de la distribució de coseus elevat són una mica complicats en el cas general, però es simplifiquen considerablement per a la distribució de coseus elevat estàndard. La distribució estàndard del cosinus elevat és només la distribució del cosinus elevat amb $\mu =0$ i $s=1$. Com que la distribució estàndard del cosinus elevat és una funció parell, els moments senars són zero. Els moments parells estan donats per:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}(x^{2n})& =\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[1+\cos (x\pi )]x^{2n}dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2n}\mathrm{hvc}(x\pi )dx\\ & =\frac{1}{n+1}+\frac{1}{1+2n}{}_1{F}_2(n+\frac{1}{2};\frac{1}{2},n+\frac{3}{2};\frac{-{\pi }^2}{4})\end{array}$

on ${}_1{F}_2$ és una funció hipergeomètrica generalitzada.