Distribució de von Mises-Fisher

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat En l'estadística direccional, la distribució de von Mises-Fisher (anomenada després de Richard von Mises i Ronald Fisher), és una distribució de probabilitat en el $(p-1)$ - esfera dins ${ℝ}^p$ . Si $p=2$ la distribució es redueix a la distribució de von Mises sobre el cercle.

Definició

La funció de densitat de probabilitat de la distribució de von Mises–Fisher per al vector unitari aleatori p -dimensional $𝐱$ ve donada per:

$f_p(𝐱;\mathit{\mu },\kappa )=C_p(\kappa )\exp \left(\kappa {\mathit{\mu }}^{𝖳}𝐱\right),$

on $\kappa \ge 0,\Vert \mathit{\mu }\Vert =1$ i la constant de normalització $C_p(\kappa )$ és igual a

$C_p(\kappa )=\frac{{\kappa }^{p/2-1}}{(2\pi {)}^{p/2}{I}_{p/2-1}(\kappa )},$

on $I_v$ denota la funció de Bessel modificada del primer tipus a l'ordre $v$ . Si $p=3$, la constant de normalització es redueix a

$C_3(\kappa )=\frac{\kappa }{4\pi \sinh \kappa }=\frac{\kappa }{2\pi (e^{\kappa }-e^{-\kappa })}.$

Els paràmetres $\mathit{\mu }$ i $\kappa$ s'anomenen paràmetres de direcció mitjana i concentració, respectivament. Com més gran sigui el valor de $\kappa$, com més gran és la concentració de la distribució al voltant de la direcció mitjana $\mathit{\mu }$ . La distribució és unimodal per $\kappa >0$, i és uniforme a l'esfera per $\kappa =0$.

La distribució de von Mises-Fisher per $p=3$ també s'anomena distribució de Fisher. Es va utilitzar per primera vegada per modelar la interacció dels dipols elèctrics en un camp elèctric. Altres aplicacions es troben en geologia, bioinformàtica i mineria de textos.