Distribució khi no central

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat En teoria i estadística de probabilitats, la distribució khi no central és una generalització no central de la distribució khi. També es coneix com a distribució de Rayleigh generalitzada.

Definició

Si $X_i$ són k variables aleatòries independents, distribuïdes normalment amb mitjanes ${\mu }_i$ i variancia ${\sigma }_i^2$, després l'estadística

$Z=\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

es distribueix segons la distribució de khi no central. La distribució de khi no central té dos paràmetres: $k$ que especifica el nombre de graus de llibertat (és a dir, el nombre de $X_i$), i $\lambda$ que es relaciona amb la mitjana de les variables aleatòries $X_i$ per:

$\lambda =\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

Propietats

Funció de densitat de probabilitat

La funció de densitat de probabilitat (pdf) és

$f(x;k,\lambda )=\frac{e^{-(x^2+{\lambda }^2)/2}{x}^k\lambda }{(\lambda x{)}^{k/2}}{I}_{k/2-1}(\lambda x)$

on $I_{\nu }(z)$ és una funció de Bessel modificada del primer tipus.