Distribució t multivariant

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat En Teoria de la probabilitat i Estadística, la distribució $t$ mutivariable o multivariant és una extensió vectorial de la distribució $t$ de Student. Aquesta distribució és una alternativa a la distribució normal multivariable quan apareixen dades atípiques (outliers) o cues pesades, com passa sovint en l'anàlisi de dades financeres. D'altra banda, també és molt utilitzada en estadística bayesiana multivariant com a distribució a priori.

Definició

Escriurem tots els vectors en columna i per una matriu o vector $𝑨$ , escriurem ${𝑨}^{\prime }$ per designar la seva transposada.

El cas més senzill

Siguin $Z_1,\dots ,Z_p$ variables aleatòries independents , totes amb distribució normal estàndard $𝒩(0,1)$, i sigui $Q$ una variable aleatòria amb distribució hki quadrat amb $\nu >0$ graus de llibertat, $Q\sim {\chi }_{\nu }^2$ , independent de $Z_1,\dots ,Z_p$. Definim el vector

$$𝑻=(T_1,\dots ,T_p{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{Q/\nu }}(Z_1,\dots ,Z_p{)}^{\prime }.$$Es diu que $𝑻$ té té una distribució $t$ multivariable amb $\nu$ graus de llibertat. Noteu que $$T_j=\frac{Z_j}{\sqrt{Q/\nu }},j=1,\dots ,p,$$tenen distribució $t$ de Student amb $\nu$ graus de llibertat, $T_j\sim t(\nu )$, però no són independents ja que totes tenen el factor $Q$.

En notació vectorial, si escrivim $𝒁=(Z_1,\dots ,Z_p{)}^{\prime }$, que és un vector normal multivariable ${𝒩}_p(0,{𝑰}_p)$, on ${𝑰}_p$ és la matriu identitat de dimensió $p$, tenim$$𝑻=\frac{1}{\sqrt{Q/\nu }}𝒁.(1)$$ Notació: S'escriu $𝑻\sim {𝒕}_p(\nu ,0,{𝑰}_p)$. La funció de densitat de $𝑻$ és

$$f_{𝑻}(x_1,\dots ,x_p)=\frac{\mathrm{\Gamma }[(\nu +p)/2]}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2){\nu }^{p/2}{\pi }^{p/2}}{(1+\frac{1}{\nu }\sum _{j=1}^p{x}_j^2)}^{-(\nu +p)/2}.(2)$$

Aquest densitat es troba exactament igual que la de la funció de densitat de la distribució $t$ de Student, però fent el canvi de variables$(Z_1,\dots ,Z_p,Q)⟶(T_1,\dots ,T_p,Q)$ i calculant la densitat marginal de $(T_1,\dots ,T_p)$.

Per a $p=1$, l'expressió (2) es redueix a la funció de densitat de la distribució $t$ de Student amb $\nu$ graus de llibertat.

Estudiem el cas $p=2$ . Tenim $$f_{T_1,T_2}(x_1,x_2)=\frac{\mathrm{\Gamma }[(\nu +2)/2]}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)\nu \pi }{(1+\frac{1}{\nu }(x_1^2+x_2^2))}^{-(\nu +2)/2}.$$Per construcció, les densitats marginals de $T_1$ i $T_2$ són $$f_{T_1}(x)=f_{T_2}(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu +1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)\sqrt{\pi \nu }}(1+\frac{x^2}{\nu }{)}^{-(\nu +1)/2}.$$

Per tant, $$f_{T_1}(x_1)f_{T_2}(x_2)\ne f_{T_1,T_2}(x_1,x_2),$$que és coherent amb el fet que $T_1$ i $T_2$ no són independents. Però també implica que si $S_1$ i $S_2$ són dues variables aleatòries independents ambdues amb distribució $t_{\nu }$ , llavors el vector $(S_1,S_2)$ no té una distribució $t$ bivariable, en contrast amb allò que passa amb les variables normals independents. Finalment, noteu que si $\nu >2$, llavors $T_1$ i $T_2$ tindran moment de segon ordre i $$E[T_1]=E[T_2]=0,$$ i $$E[T_1{T}_2]=\nu E\left[\frac{1}{Q}\right]E[Z_1]E[Z_2]=0,$$amb la qual cosa $T_1$ i $T_2$ estan incorrelacionades

Cas general

Sigui $𝒀\sim {𝒩}_p(0,\mathrm{\Sigma })$, on $\mathrm{\Sigma }$ és una matriu definida positiva (en particular, simètrica i amb determinant diferent de 0) , $\mathit{\mu }\in {ℝ}^p$ , i $Q\sim {\chi }_{\nu }^2$ , independent de $𝒀$. Aleshores el vector aleatori$$𝑿=\frac{1}{\sqrt{Q/\nu }}𝒀+\mathit{\mu }(3)$$es diu que té una distribució $t$ multivariable amb $\nu$ graus de llibertat, amb paràmetres $\mathit{\mu }$ i $\mathrm{\Sigma }$ (també es diu que $\mathit{\mu }$ és el vector de posició i $\mathrm{\Sigma }$ el paràmetre d'escala ), i s'escriu $𝑿\sim {𝒕}_p(\nu ,\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$. La funció de densitat és

Plantilla:Equation box 1

on $\text{det}\mathrm{\Sigma }$ és el determinant de la matriu $\mathrm{\Sigma }$. Quan $p=1$, llavors s'obté una distribució $t$ amb tres paràmetres.

De les propietats de les distribucions normals multivariables $$𝒀={\mathrm{\Sigma }}^{1/2}𝒁,\text{en distribució},$$on ${\mathrm{\Sigma }}^{1/2}$ és l'arrel quadrada de la matriu $\mathrm{\Sigma }$, tindrem que $$𝑿={\mathrm{\Sigma }}^{1/2}𝑻+\mathit{\mu },\text{en distribució}.(5)$$D'on es dedueix l'expressió de la densitat (4) a partir de (2) mitjançant la formula de canvi de variables per a vectors aleatoris.

Es important remarcar que aquesta distribució pertany a la família de les distribucions amb simetria el·líptica

Propietats

La distribució $t$ multivariable comparteix amb la distribució normal multivariable diverses propietats importants.

Distribucions marginals

Sigui $𝑿\sim {𝒕}_p(\nu ,\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$. Aleshores qualsevol subvector també té una distribució $t$ multivariable. Més concretament, per $q=1,\dots ,p-1$ i (per simplificar les notacions) prenem ${𝑿}_q=(X_1,\dots ,X_q{)}^{\prime }$. Llavors ${𝑿}_q\sim {𝒕}_q(\nu ,{\mathit{\mu }}_q,{\mathrm{\Sigma }}_{qq})$, on ${\mathit{\mu }}_q=({\mu }_1,\dots ,{\mu }_q)$ i ${\mathrm{\Sigma }}_{qq}$ és la submatriu de $\mathrm{\Sigma }$ obtinguda eliminant les files $q+1,\dots ,p$ i les columnes $q+1,\dots ,p$. Aquesta propietat es dedueix de la representació (3) del vector $𝑿$.

Transformacions afins

Sigui $𝑿\sim {𝒕}_p(\nu ,\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$, $𝑩$ una matriu $p\times p$ definida positiva (en particular, simètrica) i $𝒃\in {ℝ}^p$. Aleshores $$𝑩𝑿+𝒃\sim {𝒕}_p(\nu ,𝑩\mathit{\mu }+𝒃,𝑩\mathrm{\Sigma }𝑩).$$Aquesta propietat es dedueix de la representació (3) i de les propietats dels vectors normals multivariables.

Combinacions lineals de les components

Sigui $𝑿\sim {𝒕}_p(\nu ,\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$. Considerem una combinació lineal de les seves components $$S={𝒂}^{\prime }𝑿=\sum _{j=1}^p{a}_j{X}_j,$$on $𝒂=(a_1,\dots ,a_p{)}^{\prime }$ . Aleshores$$S\sim t(\nu ,{𝒂}^{\prime }\mathit{\mu },𝒂\mathrm{\Sigma }{𝒂}^{\prime }),$$on aquesta última és una distribució $t$ de Student amb 3 paràmetres (graus de llibertat, paràmetre de posició i quadrat del paràmetre d'escala) .

Aquesta propietat també es demostra a partir de les propietats de la distribució normal multivariable.

Distribucions condicionades

Sigui $𝑿\sim {𝒕}_p(\nu ,\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$ i separem-lo en dues parts ${𝑿}_1$ i ${𝑿}_2$ de dimensions $p_1$ i $p_2$ respectivament, amb $p_1+p_2=p$ , $$𝑿=\left(\begin{array}{c}{𝑿}_1\\ {𝑿}_2\end{array}\right)$$ Partim de la mateixa manera $\mathit{\mu }$ ,

$$\mathit{\mu }=\left(\begin{array}{c}{\mathit{\mu }}_1\\ {\mathit{\mu }}_2\end{array}\right),$$

i la matriu $\mathrm{\Sigma }$ de la forma $$\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\Sigma }}_{11}& {\mathrm{\Sigma }}_{12}\\ {\mathrm{\Sigma }}_{21}& {\mathrm{\Sigma }}_{22}\end{array}\right)$$Aleshores la distribució de ${𝑿}_2$ condicionada a ${𝑿}_1$ és una distribució $t$ multivariable: $${𝑿}_2|{𝑿}_1\sim {𝒕}_{p_2}(\nu +p_1,{\mathit{\mu }}_{2|1},\frac{\nu +d_1}{\nu +p_1}{\mathrm{\Sigma }}_{22|1}),$$on

$d_1=({𝑿}_1-{\mathit{\mu }}_1{)}^{\prime }{\mathrm{\Sigma }}_{11}^{-1}({𝑿}_1-{\mathit{\mu }}_1)$ és el quadrat de la distància de Mahalanobis de ${𝑿}_1$ a ${\mathit{\mu }}_1$ amb matriu d'escala

${\mathrm{\Sigma }}_{11}$.

${\mathrm{\Sigma }}_{22|1}={\mathrm{\Sigma }}_{22}-{\mathrm{\Sigma }}_{21}{\mathrm{\Sigma }}_{11}^{-1}{\mathrm{\Sigma }}_{12}$ és el complement de Schur de la matriu ${\mathrm{\Sigma }}_{11}$ en $\mathrm{\Sigma }$.

${\mathit{\mu }}_{2|1}={\mathit{\mu }}_2+{\mathrm{\Sigma }}_{21}{\mathrm{\Sigma }}_{11}^{-1}({𝑿}_1-{\mathit{\mu }}_1)$ és la regressió lineal de ${𝑿}_2$ sobre ${𝑿}_1$.

Per a la demostració vegeu.

Convergència a la distribució normal multivariable

Quan $\nu \to \mathrm{\infty }$, la distribució ${𝒕}_p(\nu ,\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$ s'aproxima a una distribució normal multivariable $𝒩(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$. Concretament, si ${𝑿}_{\nu }\sim {𝒕}_p(\nu ,\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$ (suposem $\nu$ un nombre natural), i $𝑿\sim 𝒩(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$ llavors $$\underset{\nu \to \mathrm{\infty }}{\lim }{𝑿}_{\nu }=𝑿,\text{en distribució}.$$ Aquesta propietat es demostra utilitzant la tècnica de Cramer-Wold, juntament amb la propietat que hem vist sobre les combinacions lineals de les components d'un vector amb distribució $t$ multivariable i la convergència de la distribució $t$ de Student a la distribució normal.

Moments

Sigui $𝑿\sim {𝒕}_p(\nu ,\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$. Les següents dues propietats es demostren a partir de la representació (3).

Esperança

Si $\nu >1$ , llavors el vector $𝑿$ té esperança i $E[𝑿]=\mathit{\mu }.$

Matriu de variàncies-covariàncies.

Si $\nu >2$, aleshores la matriu de variàncies-covariàncies del vector $𝑿$ és:$$𝑽(𝑿)=\frac{\nu }{\nu -2}\mathrm{\Sigma }.$$Moments d'ordre superior.

Ens restringirem al cas que $\mathit{\mu }=0$ i $\mathrm{\Sigma }={𝑰}_p$. Sigui $𝑻\sim {𝒕}_p(\nu ,0,{𝑰}_p)$ i $n_1\ge 0,\dots ,n_p\ge 0$ nombres naturals tals que $n_1+\cdots +n_p=n<\nu$ . Aleshores $$E\left[\right|T_1^{n_1}\cdots T_p^{n_p}\left|\right]<\mathrm{\infty }$$ i si $n_1,\dots ,n_p$ són parells, aleshores $$E[T_1^{n_1}\cdots T_p^{n_p}]={\nu }^{n/2}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu -n}{2}\right)}{2^{n/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)}\prod _{j=1}^p\frac{n_j!}{2^{n_j/2}(n_j/2)!}.$$Si algun dels $n_1,\dots ,n_p$ és senar, aleshores l'esperança anterior és 0.

Aquesta propietat es demostra a partir de la representació (1), de la independència de $Z_1,\dots ,Z_p$ i $Q$, i les fórmules per als moments d'una distribució $𝒩(0,1)$ i dels d'una distribució khi quadrat.

Funció característica

La funció característica no té una expressió senzilla. Vegeu o.

Simulació

La definició constructiva d'una distribució t multivariant serveix simultàniament com a algorisme de mostreig:

1. Generar $u\sim {\chi }_{\nu }^2$ i $𝐲\sim N(\mathrm{𝟎},\mathrm{\Sigma })$, independentment.
2. Calcular $𝐱\leftarrow \sqrt{\nu /u}𝐲+\mathit{\mu }$ .

Mixtura

Aquesta formulació dona lloc a la representació jeràrquica d'una distribució t multivariant com una mixtura d'escala de normals: Si$u\sim \mathrm{G}\mathrm{a}(\nu /2,\nu /2)$ on $\mathrm{G}\mathrm{a}(a,b)$ indica una distribució gamma amb densitat proporcional a $x^{a-1}{e}^{-bx}$, i $𝐱\mid u$ condicionalment segueix $N(\mathit{\mu },u^{-1}\mathrm{\Sigma })$ .