Distribucions t plegada i mitja t

Plantilla:Distribució de probabilitatEn estadístiques, les distribucions t plegada i mitja t es deriven de la distribució t de Student prenent els valors absoluts de les variables. Això és anàleg a les distribucions estadístiques normals plegades i mitjanes que es deriven de la distribució normal.

Definicions

La distribució t plegada no estandarditzada és la distribució del valor absolut de la distribució t no estandarditzada amb $\nu$ graus de llibertat; la seva funció de densitat de probabilitat ve donada per

$g\left(x\right)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)\sqrt{\nu \pi {\sigma }^2}}\{{[1+\frac{1}{\nu }\frac{{(x-\mu )}^2}{{\sigma }^2}]}^{-\frac{\nu +1}{2}}+{[1+\frac{1}{\nu }\frac{{(x+\mu )}^2}{{\sigma }^2}]}^{-\frac{\nu +1}{2}}\}(\text{per}x\ge 0)$

La distribució de mitja t resulta com el cas especial de $\mu =0$, i la versió estandarditzada com el cas especial de $\sigma =1$.

Si $\mu =0$, la distribució t plegada es redueix al cas especial de la distribució mitja t. Aleshores, la seva funció de densitat de probabilitat es simplifica a

$g\left(x\right)=\frac{2\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)\sqrt{\nu \pi {\sigma }^2}}{(1+\frac{1}{\nu }\frac{x^2}{{\sigma }^2})}^{-\frac{\nu +1}{2}}(\text{per}x\ge 0)$

Els dos primers moments de la distribució de mitja t (expectativa i variància) estan donats per:

$\mathrm{E}[X]=2\sigma \sqrt{\frac{\nu }{\pi }}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu +1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2})(\nu -1)}\text{per}\nu >1$

i

$\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2(\frac{\nu }{\nu -2}-\frac{4\nu }{\pi (\nu -1{)}^2}{\left(\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu +1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2})}\right)}^2)\text{per}\nu >2$