Distribució beta prima

En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució beta prima (també coneguda com la distribució beta invertida, distribució beta de segona classe o distribució beta II)Plantilla:Sfn es una distribució de probabilitat absolutament contínua definida per $x>0$ amb dos paràmetres, α i β, que té la funció de densitat de probabilitat:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{\alpha -1}(1+x{)}^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinó.}\end{array}$

on B és la funció beta.

La funció de distribució acumulada (FD) és

$F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac{x}{1+x}}(\alpha ,\beta ),$

on I és la funció beta incompleta regularitzada.

El valor esperat, la variància i altres detalls de la distribució es donen en la taula de la dreta; per $\beta >4$, l'excés de curtosi és

${\gamma }_2=6\frac{\alpha (\alpha +\beta -1)(5\beta -11)+(\beta -1{)}^2(\beta -2)}{\alpha (\alpha +\beta -1)(\beta -3)(\beta -4)}$.

Si bé la distribució beta relacionada és la distribució a prior conjugada del paràmetre d'una distribució de Bernoulli s'expressa com una probabilitat, la distribució de beta prima és la distribució a prior conjugada del paràmetre d'una distribució de Bernoulli expressada en oportunitats. La distribució és una distribució de Pearson de tipus VI.Plantilla:Sfn

La moda d'una variable aleatòria X distribuïda com ${\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta )$ és $\hat{X}=\frac{\alpha -1}{\beta +1}$.

La seva mitjana és $\frac{\alpha }{\beta -1}$ si $\beta >1$ (si $\beta \le 1$, la mitjana és infinita, és a dir que no té ben definida la mitjana).

La seva variància és $\frac{\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1{)}^2}$ si $\beta >2$.

Per $-\alpha <k<\beta$, el k-è moment $E[X^k]$està donat per

$E[X^k]=\frac{B(\alpha +k,\beta -k)}{B(\alpha ,\beta )}.$

Per $k\in \mathbb{N}$ amb $k<\beta ,$ queda simplificat a

$E[X^k]=\prod _{i=1}^k\frac{\alpha +i-1}{\beta -i}.$

La funció de distribució acumulada també es pot escriure

$F(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{\alpha }{\cdot }_2{F}_1(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )}& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinó.}\end{array}$

on ${}_2{F}_1$ és la funció hipergeomètrica de Gauss ₂F₁ .

La seva equació diferencial és:

$(x^2+x)f^{\prime }(x)+f(x)(-\alpha +\beta x+x+1)=0,f(1)=\frac{2^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}$

Generalització

Es poden afegir dos paràmetres més per a formar la distribució beta prima generalitzada.

• $p>0$ forma (real)
• $q>0$ escala (real)

que té la funció de densitat de probabilitat

$f(x;\alpha ,\beta ,p,q)=\frac{p{\left(\frac{x}{q}\right)}^{\alpha p-1}{\left(1+{\left(\frac{x}{q}\right)}^p\right)}^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}$

amb mitjana

$\frac{q\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{p})\mathrm{\Gamma }(\beta -\frac{1}{p})}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}\text{si }\beta p>1$

i moda

$q{\left(\frac{\alpha p-1}{\beta p+1}\right)}^{\frac{1}{p}}\text{si }\alpha p\ge 1$

Si una variable aleatòria X segueix una distribució beta prima generalitzada, s'anotarà $X\sim {\beta }^{\text{'}}(\alpha ,\beta ,p,q)$.

Si p=q=1, llavors la distribució beta prima generalitzada és igual a la distribució beta prima estàndard.

La distribució gamma composta

La distribució gamma compostaPlantilla:Sfn és la generalització de la distribució beta prima quan el paràmetre d'escala q, s'afegeix, però on p = 1. Es diu així perquè està format per la combinació de dues distribucions gamma:

${\beta }^{\prime }(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}G(x;\alpha ,p)G(p;\beta ,q)dp$

on G(x;a,b) és la distribució gamma amb una forma i escala inversa b. Aquesta relació es pot utilitzar per generar variables aleatòries amb una distribució gama composta o amb una distribució beta prima.

La moda, la mitjana i la variància de la distribució gama composta poden ser obtingudes multiplicant la moda i la mitjana que apareixen a la taula del principi per q i la variància per q².

Propietats

• Si $X\sim {\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta )$ llavors $\frac{1}{X}\sim {\beta }^{\prime }(\beta ,\alpha )$.
• Si $X\sim {\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta ,p,q)$ llavors $kX\sim {\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta ,p,kq)$.
• ${\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta ,1,1)={\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta )$

Distribucions relacionades i propietats

• Si $X\sim F(2\alpha ,2\beta )$, llavors $X\sim {\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta ,1,\frac{\alpha }{\beta })$, o de forma equivalent, $\frac{\alpha }{\beta }X\sim {\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta )$
• Si $X\sim \text{Beta}(\alpha ,\beta )$, llavors $\frac{X}{1-X}\sim {\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta )$
• Si $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,1)$ i $Y\sim \mathrm{\Gamma }(\beta ,1)$ són independents, llavors $\frac{X}{Y}\sim {\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta )$.
• Parametrització 1: Si $X_k\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_k,{\theta }_k)$ són independents, llavors $\frac{X_1}{X_2}\sim {\beta }^{\prime }({\alpha }_1,{\alpha }_2,1,\frac{{\theta }_1}{{\theta }_2})$
• Parametrització 2: Si $X_k\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_k,{\beta }_k)$ són independents, llavors $\frac{X_1}{X_2}\sim {\beta }^{\prime }({\alpha }_1,{\alpha }_2,1,\frac{{\beta }_2}{{\beta }_1})$
• ${\beta }^{\prime }(p,1,a,b)=\text{Dagum}(p,a,b)$ és la distribució de Dagum.
• ${\beta }^{\prime }(1,p,a,b)=\text{SinghMaddala}(p,a,b)$ és la distribució de Singh-Maddala.
• ${\beta }^{\prime }(1,1,\gamma ,\sigma )=\text{LL}(\gamma ,\sigma )$ és la distribució log-logística.
• La distribució beta prima és un cas especial de la distribució de Pearson de tipus VI.
• La distribució de Pareto de tipus II està relacionada amb la distribució beta prima.
• La distribució de Pareto de tipus IV està relacionada amb la distribució beta prima.
• La distribució de Dirichlet invertida és una generalització de la distribució beta prima.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Enllaços externs

• Distribució beta prima, en MathWorld. Plantilla:En