Equació de Grad-Shafranov

En magnetohidrodinàmica, lPlantilla:'equació de Grad-Shafranov (H. Grad i H. Rubin (1958); Vitalii Dmitrievich Shafranov (1966)) és l'equació d’equilibri ideal per a un plasma bidimensional, per exemple el plasma toroidal simètric a l'eix en un tokamak. Aquesta equació adopta la mateixa forma que l'equació de Hicks des de la dinàmica de fluids.  Aquesta equació és una equació el·líptica en derivades parcials bidimensional i no lineal obtinguda de la reducció de les equacions ideals de la magnetohidrodinàmica a dues dimensions, sovint per al cas de toroïdals simètrics a l'eix (com per exemple, en un tokamak).

Si prenem $(r,\theta ,z)$ com a coordenades cilíndriques, la funció de flux $\psi$ es regeix per l'equació

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}=-{\mu }_0{r}^2\frac{dp}{d\psi }-\frac{1}{2}\frac{d{F}^2}{d\psi },$

on ${\mu }_0$ és la permeabilitat magnètica, $p(\psi )$ és la pressió, $F(\psi )=r{B}_{\varphi }$, i el camp magnètic i el corrent són, respectivament, donats per

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{B}& =\frac{1}{r}\mathrm{\nabla }\psi \times {\hat{e}}_{\theta }+\frac{F}{r}{\hat{e}}_{\theta },\\ {\mu }_0\overrightarrow{J}& =\frac{1}{r}\frac{dF}{d\psi }\mathrm{\nabla }\psi \times {\hat{e}}_{\theta }-[\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}\right)+\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}]{\hat{e}}_{\theta }.\end{array}$

La naturalesa de l'equilibri, ja sigui un tokamak, un tros de camp invertit, etc. està determinada en gran manera per les eleccions de les dues funcions $F(\psi )$ i $p(\psi )$ així com les condicions límit.

Derivació (en coordenades de lloses)

A continuació, se suposa que el sistema és bidimensional amb $z$ com a eix invariant, és a dir $\frac{\partial }{\partial z}=0$ per a totes les quantitats. Llavors, el camp magnètic es pot escriure en coordenades cartesianes com

$𝐁=(\frac{\partial A}{\partial y},-\frac{\partial A}{\partial x},B_z(x,y)),$

o de manera més compacta,

$𝐁=\mathrm{\nabla }A\times \widehat{𝐳}+B_z\widehat{𝐳},$

on $A(x,y)\widehat{𝐳}$ és el potencial vectorial del camp magnètic en el pla (components x i y). Tingueu en compte que, basant-nos en aquesta forma de B podem veure que A és constant al llarg de qualsevol línia de camp magnètic donat, ja que $\mathrm{\nabla }A$ és perpendicular a B arreu (tingueu en compte també que -A és la funció de flux $\psi$ esmentat més amunt).

Les estructures magnètiques estacionàries i bidimensionals es descriuen pel balanç de forces de pressió i forces magnètiques, és a dir:

$\mathrm{\nabla }p=𝐣\times 𝐁,$

on p és la pressió del plasma i j és el corrent elèctric. Se sap que p és una constant al llarg de qualsevol línia de camp (de nou, des de $\mathrm{\nabla }p$ és perpendicular a B). A més, el supòsit bidimensional ($\frac{\partial }{\partial z}=0$) significa que el component z del costat esquerre ha de ser zero, de manera que el component z de la força magnètica del costat dret també ha de ser zero. Això significa que ${𝐣}_{\perp }\times {𝐁}_{\perp }=0$, és a dir, ${𝐣}_{\perp }$és paral·lel a ${𝐁}_{\perp }$.

El costat dret de l'equació anterior es pot considerar en dues parts:

$𝐣\times 𝐁=j_z(\widehat{𝐳}\times {𝐁}_{\mathbf{\perp }})+{𝐣}_{\mathbf{\perp }}\times \widehat{𝐳}{B}_z,$

on el índex $\perp$ indica el component en el pla perpendicular a l'eix $z$. El component $z$ del corrent de l'equació anterior es pot escriure en termes del potencial vectorial unidimensional com

$j_z=-\frac{1}{{\mu }_0}{\mathrm{\nabla }}^{2}A.$.

El camp en el pla és

${𝐁}_{\perp }=\mathrm{\nabla }A\times \widehat{𝐳}$,

i utilitzant l'equació de Maxwell-Ampère, el corrent en el pla ve donat per

${𝐣}_{\perp }=\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }{B}_z\times \widehat{𝐳}$.

Per tal que aquest vector sigui paral·lel a ${𝐁}_{\perp }$ segons sigui necessari, el vector $\mathrm{\nabla }{B}_z$ ha de ser perpendicular a ${𝐁}_{\perp }$, i $B_z$ té que ser, com $p$, un invariant de línia de camp.

Reorganitzant els productes creuats anteriors condueix a

$\widehat{𝐳}\times {𝐁}_{\perp }=\mathrm{\nabla }A-(\widehat{𝐳}\cdot \mathrm{\nabla }A)\widehat{𝐳}=\mathrm{\nabla }A$,

i

${𝐣}_{\perp }\times B_z\widehat{𝐳}=\frac{B_z}{{\mu }_0}(\widehat{𝐳}\cdot \mathrm{\nabla }{B}_z)\widehat{𝐳}-\frac{1}{{\mu }_0}{B}_z\mathrm{\nabla }{B}_z=-\frac{1}{{\mu }_0}{B}_z\mathrm{\nabla }{B}_z.$

Aquests resultats es poden substituir per l'expressió de $\mathrm{\nabla }p$ per a donar:

$\mathrm{\nabla }p=-\left[\frac{1}{{\mu }_0}{\mathrm{\nabla }}^{2}A\right]\mathrm{\nabla }A-\frac{1}{{\mu }_0}{B}_z\mathrm{\nabla }{B}_z.$

A partir que $p$ i $B_z$ són constants al llarg d'una línia de camp i només tenen funcions d'$A$, llavors $\mathrm{\nabla }p=\frac{dp}{dA}\mathrm{\nabla }A$ i $\mathrm{\nabla }{B}_z=\frac{d{B}_z}{dA}\mathrm{\nabla }A$. D’aquesta manera, es factoritza $\mathrm{\nabla }A$ i la reordenació dels termes produeix l'equació de Grad-Shafranov:

${\mathrm{\nabla }}^{2}A=-{\mu }_0\frac{d}{dA}(p+\frac{B_z^2}{2{\mu }_0}).$

Bibliografia

• Grad, H., and Rubin, H. (1958) Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields Plantilla:Webarchive. Proceedings of the 2nd UN Conf. on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Vol. 31, Geneva: IAEA p. 190.
• Shafranov, V.D. (1966) Plasma equilibrium in a magnetic field, Reviews of Plasma Physics, Vol. 2, New York: Consultants Bureau, p. 103.
• Woods, Leslie C. (2004) Physics of plasmas, Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, chapter 2.5.4
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD Tokamak Equilibria Plantilla:Webarchive. Notes about the Grad–Shafranov equation, selected aspects of the equation and its analytical solutions.
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD equilibria with Toroidal Flow Plantilla:Webarchive. Incorporation of toroidal flow, relation to kinetic and two-fluid models, and discussion of specific analytical solutions.