Equació de Hicks

En dinàmica de fluids, lPlantilla:'equació de Hicks (de vegades també anomenada equació de Bragg-Hawthorne o equació de Squire-Long) és una equació diferencial parcial que descriu la distribució de la funció de corrent per al fluid no viscòs simètric a l'eix, que rep el nom de William Mitchinson Hicks, qui va ser el primer en derivar-la el 1898. L'equació també va ser derivada per Stephen Bragg i William Hawthorne el 1950, per Robert R. Long el 1953, i per Herbert Squire el 1956. L'equació de Hicks sense remolí va ser introduïda per primera vegada per George Gabriel Stokes el 1842. L'equació de Grad-Shafranov que apareix a la física del plasma també adopta la mateixa forma que l'equació de Hicks.

Representant $(r,\theta ,z)$ com a coordenades en el sentit del sistema de coordenades cilíndriques amb els components de velocitat de flux corresponents denotats per $(v_r,v_{\theta },v_z)$, la funció de corrent $\psi$ que defineix el moviment meridional es pot definir com

$r{v}_r=-\frac{\partial \psi }{\partial z},r{v}_z=\frac{\partial \psi }{\partial r}$

que satisfà automàticament l'equació de continuïtat dels fluxos simètrics a l'eix. L'equació de Hicks ve donada per

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}=r^2\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}\psi }-\mathrm{\Gamma }\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{d}\psi }$

on

$H(\psi )=\frac{p}{\rho }+\frac{1}{2}(v_r^2+v_{\theta }^2+v_z^2),\mathrm{\Gamma }(\psi )=r{v}_{\theta }$

on $H(\psi )$ és el cap total i $2\pi \mathrm{\Gamma }$ és la circulació, conservant-se ambdues al llarg de les línies del corrent. Aquí, $p$ és la pressió i $\rho$ és la densitat del fluid. Les funcions $H(\psi )$ i $\mathrm{\Gamma }(\psi )$ són funcions conegudes, generalment prescrites en un dels límits.

Derivació

Considerem el flux de l'eix simètric en el sistema de coordenades cilíndriques $(r,\theta ,z)$ amb components de velocitat $(v_r,v_{\theta },v_z)$ i els components de vorticitat $({\omega }_r,{\omega }_{\theta },{\omega }_z)$. A partir de $\partial /\partial \theta =0$ en els fluxos simètrics a l'eix, els components de la vorticitat són

${\omega }_r=-\frac{\partial v_{\theta }}{\partial z},{\omega }_{\theta }=\frac{\partial v_r}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial r},{\omega }_z=\frac{1}{r}\frac{\partial (r{v}_{\theta })}{\partial r}$.

L'equació de continuïtat permet definir una funció de flux $\psi (r,z)$ de tal manera que

$v_r=-\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial z},v_z=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}$

(Tingueu en compte que els components de la vorticitat ${\omega }_r$ i ${\omega }_z$ estan relacionats amb $r{v}_{\theta }$ exactament de la mateixa manera que $v_r$ i $v_z$ estan relacionats amb $\psi$). Per tant, es converteix en el component azimutal de la vorticitat

${\omega }_{\theta }=-\frac{1}{r}(\frac{{\partial }^2\psi }{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}).$

Les equacions del momentum no viscòs $\partial 𝒗/\partial t-𝒗\times \mathit{\omega }=-\mathrm{\nabla }H$, on $H=\frac{1}{2}(v_r^2+v_{\theta }^2+v_z^2)+\frac{p}{\rho }$ és la constant de Bernoulli, $p$ és la pressió del fluid i $\rho$ és la densitat del fluid, quan s'escriu per al camp de flux simètric a l'eix, es converteix en

$\begin{array}{cc}{v}_{\theta }{\omega }_z-v_z{\omega }_{\theta }-\frac{\partial v_r}{\partial t}& =\frac{\partial H}{\partial r},\\ v_z{\omega }_r-v_r{\omega }_z-\frac{\partial v_{\theta }}{\partial t}& =0,\\ v_r{\omega }_{\theta }-v_{\theta }{\omega }_r-\frac{\partial v_z}{\partial t}& =\frac{\partial H}{\partial z}\end{array}$

en què la segona equació també es pot escriure com $D(r{v}_{\theta })/Dt=0$, on $D/Dt$ és la derivada material. Això implica que la circulació $2\pi r{v}_{\theta }$, que arrodoneix una corba de material en forma de cercle centrat en l'eix $z$, és constant.

Si el moviment del fluid és constant, la partícula del fluid es mou al llarg d’una corrent lineal, és a dir, es mou en la superfície donada per $\psi =$constant. Es dedueix, doncs, que $H=H(\psi )$ i $\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Gamma }(\psi )$, on $\mathrm{\Gamma }=r{v}_{\theta }$. Per tant, el component radial i azimutal de la vorticitat són

${\omega }_r=v_r\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{d}\psi },{\omega }_z=v_z\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{d}\psi }$.

Els components de $𝒗$ i $\mathit{\omega }$ són localment paral·lels. Les expressions anteriors es poden substituir en les equacions de momentum radial o axial (després d’eliminar el terme derivat del temps) per a resoldre ${\omega }_{\theta }$. Per exemple, substituint l'expressió anterior per ${\omega }_r$ a l'equació del momentum axial condueix a

$\begin{array}{cc}\frac{{\omega }_{\theta }}{r}& =\frac{v_{\theta }{\omega }_r}{r{v}_r}+\frac{1}{r{v}_r}\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}\psi }\frac{\partial \psi }{\partial x}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }}{r^2}\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{d}\psi }-\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}\psi }.\end{array}$

Però ${\omega }_{\theta }$ es pot expressar en termes de $\psi$ tal com es mostra al començament d’aquesta derivació. Quan ${\omega }_{\theta }$ s'expressa en termes de $\psi$, obtenim

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}=r^2\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}\psi }-\mathrm{\Gamma }\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{d}\psi }.$

Això completa la derivació necessària.