Equació de Txapliguin

En la dinàmica de gasos, lPlantilla:'equació de Txapligin, anomenada així per Serguei Alekséievitx Txapliguin (1902), és una equació en derivades parcials útil en l'estudi del flux transònic. És

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\theta }^2}+\frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial v^2}+v\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial v}=0.$

on $c=c(v)$ és la velocitat del so determinada per l'equació d'estat del fluid i la conservació de l'energia.

Derivació

Per al flux potencial bidimensional, les equacions de continuïtat i les equacions d'Euler (de fet, és l'equació comprensible de Bernoulli degut a la irrotacionalitat), en coordenades cartesianes $(x,y)$ que involucra les variables velocitat de fluid $(v_x,v_y)$, la entalpia específica $h$ i la densitat $\rho$ és:

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}(\rho v_x)+\frac{\partial }{\partial y}(\rho v_y)& =0,\\ h+\frac{1}{2}{v}^2& =h_o.\end{array}$

amb l'equació d'estat $\rho =\rho (s,h)$ actuant com a tercera equació, on

• $h_o$ es la entalpia d'estancament,
• $v^2=v_x^2+v_y^2$ es la magnitud del vector de velocitat, i
• $s$ és l'entropia.

Per al flux isoentròpic, la densitat pot expressar-se com una funció només de l'entalpia, que al seu torn, usant l'equació de Bernoulli, es pot escriure com $\rho =\rho (v)$.

Atès que el flux és irrotacional, hi ha un potencial de velocitat $\varphi$ i el seu diferencial és $d\varphi =v_{x}dx+v_{y}dy$. En lloc de tractar $v_x=v_x(x,y)$ y $v_y=v_y(x,y)$ com a variables dependents, fem servir una transformació de coordenades de tal manera$x=x(v_x,v_y)$ i $y=y(v_x,v_y)$ es converteixen en noves variables dependents. De manera similar, el potencial de velocitat és reemplaçat per una nova funció, la transformada de Legendre

$\mathrm{\Phi }=x{v}_x+y{v}_y-\varphi$

tal que el seu diferencial és $d\mathrm{\Phi }=xd{v}_x+yd{v}_y$, per tant

$x=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial v_x},y=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial v_y}.$

Introduint una altra transformació de coordenades per a les variables de $(v_x,v_y)$ a $(v,\theta )$ d'acord amb la relació $v_x=v\cos \theta$ y $v_y=v\sin \theta$, on $v$ és la magnitud del vector de velocitat i $\theta$ és l'angle que el vector de velocitat fa amb l'eix $v_x$, les variables dependents esdevenen

$\begin{array}{cc}x& =\cos \theta \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial v}-\frac{\sin \theta }{v}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta },\\ y& =\sin \theta \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial v}+\frac{\cos \theta }{v}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta },\\ \varphi & =-\mathrm{\Phi }+v\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial v}.\end{array}$

L'equació de continuïtat en les noves coordenades es converteix en:

$\frac{d(\rho v)}{dv}(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial v}+\frac{1}{v}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\theta }^2})+\rho v\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial v^2}=0.$

Per a un flux isentròpic tal que $dh={\rho }^{-1}{c}^{2}d\rho$ on $c$ és la velocitat del so. Usant l'equació de Bernoulli s'obté:

$\frac{d(\rho v)}{dv}=\rho (1-\frac{v^2}{c^2})$

on $c=c(v)$. Per tant, tenim:

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\theta }^2}+\frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial v^2}+v\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial v}=0.$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Equació d'Euler-Tricomi