Equació exponencial

Una equació exponencial és aquella equació en què la incògnita apareix, únicament, en els exponents de potències de bases constants. La incògnita pot aparèixer en l'exponent d'un o més termes, en qualsevol membre de l'equació. És a dir, una constant està elevada a una funció de la incògnita a aclarir, usualment representada per $x$. Per resoldre aquestes equacions s'utilitzen les propietats de la potenciació, la radicació dels logaritmes i canvi de la incògnita per una altra.

Definició

Sigui $a$ un nombre real fixe, positiu i diferent de 1, llavors l'equació es denomina equació exponencial elemental.

$a^x=b$

Formes de resolució

Depèn del tipus d'equació exponencial de què es tracti, hi ha diverses formes de resoldre-la, pel seu nivell de complexitat. Les més fàcils són per simple inspecció, és a dir, es descompon la part numèrica en els seus factors primers i aplicant logaritme a banda i banda de la igualtat. A continuació, es brinden alguns exemples.

Igualació de bases

Sigui l'equació de l'exemple següent:

$2^{x+1}=16$

Si el primer membre només té un terme i el terme del segon membre és potència de la base del terme del primer membre, llavors el segon membre s'expressa com a potència de la base de l'expressió que conté la incògnita. En l'exemple, 16 és potència de la base dues de $2^{x+1}$.

$2^{x+1}=2^4$

Després, aplicant la següent propietat: $a^x=a^y\Rightarrow x=y$, llavors: $x+1=4$

$x=4-1\to x=3$

Canvi de variables

Donada lPlantilla:'equació exponencial de l'exemple següent:

$2\cdot 7^{x+2}+7^x=33957$

Se simplifica la seva escriptura:

$2\cdot (7^x)\cdot 7^2+(7^x)=33957$

S'aplica el canvi de variable i s'escriu:

$7^x=a$

Ara, en reemplaçar, es té:

$2a\cdot 49+a=33957$

S'aïlla $a$:

$99a=33957$

$a=\frac{33957}{99}\to a=343$

i finalment, es desfà el canvi de variable:

$x={\log }_7(a)={\log }_7(343)=3$

Passant a una algebraica

Donada l'equació:

$2\cdot 9^x-3^{x+1}-2=0$

se simplifica:

$2\cdot (3^x{)}^2-3\cdot 3^x-2=0$

Després se substitueix $y=3^x$, amb això s'aconsegueix una equació de segon grau:

$2y^2-3y-2=0$

Si es resol l'equació de segon grau s'aconsegueixen els següents resultats: $y=2$; $y=-\frac{1}{2}$. L'última solució és impossible, atès que $3^x>0$. Per tant, només pot ser la solució $3^x=2$:

$x={\log }_3(2)$

Utilitzant logaritmes

Plantilla:Article principal Donada l'equació:

$4^{x+1}\cdot 8^x=4096$

S'aplica el logaritme a banda i banda de l'equació:

$lo{g}_2(4^{x+1}\cdot 8^x)={\log }_{2}4096$

Per propietats dels logaritmes, s'obté:

$lo{g}_2(4^{x+1})+{\log }_2(8^x)={\log }_{2}4096$

$(x+1)\cdot {\log }_{2}4+x\cdot {\log }_{2}8={\log }_{2}4096$

Operant:

$(x+1)\cdot 2+x\cdot 3=12\Rightarrow 2x+2+3x=12\Rightarrow 5x=10$

Finalment, s'aïlla i es resol:

$x=2$

Canvi de base de les potències

Donada l'equació:

$4^{x+1}\cdot 8^x=4096$

Es passen les potències de base 4 i 8 a potències de base 2, com també $4096=2^{12}$, es té:

$2^{2x+2}\cdot 2^{3x}=2^{12}$

Igualant els exponents:

$(2x+2)+3x=12$

Finalment:

$5x=10\Rightarrow x=2$

Equacions exponencial més complexes

Quan la incògnita es troba en l'índex d'una arrel, també se la considera exponencial, ja que es pot rescriure com a potència amb exponent fraccionari. Sigui l'equació:

$\sqrt[3x+1]{2^{x+2}}=8$

Noti's que la variable es troba també en líndex de l'arrel. Per les propietats de la radicació, es reescriu com:

$2^{\frac{x+2}{3x+1}}=8$

S'aplica el mètode d'igualació de bases:

$2^{\frac{x+2}{3x+1}}=2^3$

Igualant els exponents:

$\frac{x+2}{3x+1}=3$

Operant i aïllant:

$x=-\frac{1}{8}$

Altres aplicacions de les equacions exponencials

Consideri's la següent equació:

$1+2+4+8+\cdots +2^x=1023$

Noti's que els diferents termes formen part d'una progressió geomètrica. Per resoldre aquesta suma dels $n$ termes d'una progressió geomètrica, sabent que aquesta progressió té 5 termes:

$S_n=\frac{a_{n}r-a_1}{r-1}$

Se substitueixen els nombres a la fórmula:

$1023=\frac{2^x\cdot 2-1}{2-1}$

Se simplifica:

$1023=2^x\cdot 2-1\Rightarrow 1024=2^x\cdot 2\Rightarrow 512=2^x$

Igualant les bases:

$2^9=2^x$

Resolent:

$9=x$

El mateix raonament és aplicable per a qualsevol progressió geomètrica.

L'interès compost

Si $C$ representa el capital invertit a una taxa de $r$ per cent anual, i $m$ denota el nombre de vegades a l'any que s'acumula l'interès, llavors la suma acumulat $M$ després de $x$ anys es calcula mitjançant la fórmula:

$M=C{(1+\frac{r}{m})}^{mx}$

El valor de $x$ s'avalua mitjançant logaritmes.

També en el cas de la desintegració de cert material radioactiu es compleix la fórmula:

$Q=Q_0\cdot 10^{-kt}$

On:

• $Q$ está en grams (g)
• $t$ en anys
• $Q_0$ en grams (g)

• $k$ és una constant de variació de la quantitat de substància respecte a la seva massa.

Funció exponencial

Les equacions exponencials també sorgeixen quan es volen calcular arrels o punts particulars de les funcions exponencials. En la funció exponencial $f:ℝ\to ℝ/f(x)=2^x$, per saber en quin punt la seva gràfica talla l'eix d'ordenades, s'ha de plantejar l'equació:

$2^0=x$

Operant s'arriba a la conclusió que $x=1$.

Si es vol saber en quin punt de l'eix d'abscisses la gràfica intersecta l'eix d'ordenades en el punt 1, es planteja:

$2^x=1\Rightarrow x=0$

Un altre exemple:

Trobar el valor de $x$ si $f(x)=12$ i $f(x)=3^x$

$3^x=12\Rightarrow \log 3^x=\log 12\Rightarrow x=\frac{\log 12}{\log 3}\approx 2,262$

Vegeu també

• Funció exponencial
• Logaritme
• Potenciació
• Arrel enèsima
• Equacions
• Progressió geomètrica