Funció Q de Marcum

En estadística, la funció Q de Marcum $Q_M$ es defineix com:

$Q_M(a,b)=\underset{b}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{\left(\frac{x}{a}\right)}^{M-1}\exp (-\frac{x^2+a^2}{2})I_{M-1}(ax)dx$

o com

$Q_M(a,b)=\exp (-\frac{a^2+b^2}{2})\sum _{k=1-M}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a}{b}\right)}^k{I}_k(ab)$

amb la funció de Bessel modificada $I_{M-1}$ d'ordre M − 1. La funció Q de Marcum s'utilitza, per exemple com a funció de distribució acumulada (més prescisament, com a funció de supervivència) per la distribució χ no centrada, la distribució χ quadrat no centrada i la distribució de Rice.

Per a valors no enters de M, la funció Q de Marcum es pot definir com:

$\begin{array}{cc}{Q}_M(a,b)& =1-e^{-a^2/2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a^2}{2}\right)}^k\frac{\gamma (M+k,\frac{b^2}{2})}{k!\mathrm{\Gamma }(M+k)}\\ & =1-e^{-a^2/2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a^2}{2}\right)}^k\frac{P(M+k,\frac{b^2}{2})}{k!}\end{array}$

on $P(s,x)$ és la funció Gamma regularitzada.

La funció Q de Marcum és monòtona i logarítmicament còncava.

Bibliografia

• Marcum, J. I. (1950) "Table of Q Functions". U.S. Air Force RAND Research Memorandum M-339. Santa Monica, CA: Rand Corporation, Jan. 1, 1950.
• Nuttall, Albert H. (1975): Some Integrals Involving the Q_M Function, IEEE Transactions on Information Theory, 21(1), 95–96, Plantilla:ISSN
• Weisstein, Eric W. Marcum Q-Function. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1]