Distribució de Rice

En el pla 2D, agafi's un punt fixe a una distància $\nu$ de l'origen. Generi's una distribució bidimensional de punts centrats al voltant d'aquest primer punt, en què els valors de les coordenades x i y són triats independentment a partir d'una distribució normal amb desviació estàndard $\sigma$ (la regió blava). Si $R$ és la distància d'aquests punts a l'origen, llavors $R$ segueix una distribució de Rice.

En teoria de la probabilitat, la distribució de Rice és la distribució de probabilitat de la magnitud d'una variable aleatòria normal bivariada i circular de mitjana potencialment diferent de zero. Du el nom de l'enginyer estatunidenc Stephen O. Rice.

Caracterització

La funció densitat de probabilitat de la distribució de Rice és:

$f(x\mid \nu ,\sigma )=\frac{x}{{\sigma }^2}\exp \left(\frac{-(x^2+{\nu }^2)}{2{\sigma }^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu }{{\sigma }^2}\right),$

on I₀(z) és la funció de Bessel modificada de primer tipus d'ordre zero.

En el context de l'esvaïment de Rice, la distribució es reescriu sovint per mitjà del paràmetre de forma $K=\frac{{\nu }^2}{2{\sigma }^2}$, definit com el quocient entre les contribucions en potència del camí amb línia de visió directa respecte la potència per efecte multicamí, i del paràmetre d'escala $\mathrm{\Omega }={\nu }^2+2{\sigma }^2$, definit com la potència total rebuda de tots els camins.

La funció característica de la distribució de Rice ve donada per:

$\begin{array}{cc}& {\chi }_X(t\mid \nu ,\sigma )\\ & =\exp (-\frac{{\nu }^2}{2{\sigma }^2})[{\mathrm{\Psi }}_2(1;1,\frac{1}{2};\frac{{\nu }^2}{2{\sigma }^2},-\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2)\\ & +i\sqrt{2}\sigma t{\mathrm{\Psi }}_2(\frac{3}{2};1,\frac{3}{2};\frac{{\nu }^2}{2{\sigma }^2},-\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2)],\end{array}$

on ${\mathrm{\Psi }}_2(\alpha ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };x,y)$ és una de les funcions hipergeomètriques convergents de Horn amb dues variables i convergent per tot valor finit de $x$ i $y$. Ve donat per:

${\mathrm{\Psi }}_2(\alpha ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };x,y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}}{(\gamma {)}_m({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!},$

on

$(x{)}_n=x(x+1)\cdots (x+n-1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)}$

és el factorial creixent.

Distribucions relacionades

• $R\sim \mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}(|\nu |,\sigma )$ té una distribució de Rice si $R=\sqrt{X^2+Y^2}$ on $X\sim N(\nu \cos \theta ,{\sigma }^2)$ i $Y\sim N(\nu \sin \theta ,{\sigma }^2)$ són variables aleatòries normals estadísticament independents i $\theta$ és un nombre real qualsevol.

• Un altre cas en què $R\sim \mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}(\nu ,\sigma )$ prové dels següents passos

1 Generi's $P$ amb una distribució de Poisson amb paràmetre (també igual a la mitjana, en ser de Poisson)$\lambda =\frac{{\nu }^2}{2{\sigma }^2}.$

2. Generi's $X$ amb distribució khi quadrat amb Plantilla:Nowrap graus de llibertat.

3. Estableixi's que $R=\sigma \sqrt{X}.$

• Si $R\sim \text{Rice}(\nu ,1)$ llavors $R^2$ té una distribució khi quadrat no centrada amb dos graus de llibertat amb paràmtre de no centralitat ${\nu }^2$.

• Si $R\sim \text{Rice}(\nu ,1)$ llavors $R$ té una distribució khi no centrada amb dos graus de llibertat i paràmtre de no centralitat $\nu$.

• Si $R\sim \text{Rice}(0,\sigma )$ llavors $R\sim \text{Rayleigh}\left(\sigma \right)$, per exemple, per un cas particular de la distribució de Rice donat per la condició ν = 0, la distribució esdevé una distribució de Rayleigh, per la qual la variància és ${\mu }_2=\frac{4-\pi }{2}{\sigma }^2$.

• Si $R\sim \text{Rice}(0,\sigma )$ llavors $R^2$ té una distribució exponencial.

Casos limitants

Per valors grans de l'argument, el polinomi de Laguerre esdevé

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{L}_{\nu }(x)=\frac{|x{|}^{\nu }}{\mathrm{\Gamma }(1+\nu )}.$

Es demostra que a mesura que ν creix o σ es fa petit la mitjana tendeix a ν i la variància a σ².

Aplicacions

• La norma euclidiana d'un vector aleatori de la distribució normal bivariable.
• Esvaïment de Rice
• Efecte de l'error de visió en el disparament d'un blanc.

Bibliografia

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (ed.), Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1964; reprinted Dover Publications, 1965. Plantilla:ISBN
• Rice, S. O., Mathematical Analysis of Random Noise. Bell System Technical Journal 24 (1945) 46–156.
• Plantilla:Ref-publicació
• Dong Wang, Qiang Zhou, Kwok-Leung Tsui. On the distribution of the modulus of Gabor wavelet coefficients and the upper bound of the dimensionless smoothness index in the case of additive Gaussian noises: Revisited. Journal of Sound and Vibration. 2017 May 12;395:393-400.
• Liu, X. and Hanzo, L., A Unified Exact BER Performance Analysis of Asynchronous DS-CDMA Systems Using BPSK Modulation over Fading Channels, IEEE Transactions on Wireless Communications, Volume 6, Issue 10, October 2007, Pages 3504–3509.
• Annamalai, A., Tellambura, C. and Bhargava, V. K., Equal-Gain Diversity Receiver Performance in Wireless Channels, IEEE Transactions on Communications,Volume 48, October 2000, Pages 1732–1745.
• Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. and Tricomi, F. G., Higher Transcendental Functions, Volume 1. Plantilla:Webarchive McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
• Srivastava, H. M. and Karlsson, P. W., Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Ellis Horwood Ltd., 1985.
• Sijbers J., den Dekker A. J., Scheunders P. and Van Dyck D., "Maximum Likelihood estimation of Rician distribution parameters" Plantilla:Webarchive, IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 17, Nr. 3, p. 357–361, (1998)
• Plantilla:Ref-publicació
• Koay, C.G. and Basser, P. J., Analytically exact correction scheme for signal extraction from noisy magnitude MR signals, Journal of Magnetic Resonance, Volume 179, Issue = 2, p. 317–322, (2006)
• Abdi, A., Tepedelenlioglu, C., Kaveh, M., and Giannakis, G. On the estimation of the K parameter for the Rice fading distribution, IEEE Communications Letters, Volume 5, Number 3, March 2001, Pages 92–94.
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació

Enllaços externs

• Codi en MATLAB de la distribució de Rice Plantilla:Webarchive (PDF, mitjana i variància, i generació de mostres aleatòries)