Funció de Mittag-Leffler

Funció de Mittag-Leffler

En matemàtiques, la Funció de Mittag-Leffler $E_{\alpha ,\beta }$ és una funció especial, una funció complexa que depèn de dos paràmetres complexos $\alpha$ i $\beta$. Es pot definir, de forma generalitzada, per la següent sèrie quan la part real de $\alpha$ és estrictament positiva:Plantilla:Sfn

$E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )}$

en la que $\mathrm{\Gamma }$ és la funció gamma i $\alpha ,\beta \in ℂ$.

En la seva forma especial (monoparamètrica)Plantilla:Sfn es defineix per la sèrie

$E_{\alpha }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+1)}$

Quan $\alpha$ i $\beta$ són reals i positives, la sèrie és convergent per a tots els valors de l'argument $z$,Plantilla:Sfn per això la funció de Mittag-Leffler és una funció entera. La funció rep el nom de Gösta Mittag-Leffler que la va formular a començaments del Plantilla:Segle.Plantilla:Sfn Aquesta mena de funcions són importants en la teoria del càlcul fraccionari i les seves aplicacions a l'estudi de les equacions diferencials i integrals.Plantilla:Sfn

Per a $\alpha >0$, la funció de Mittag-Leffler $E_{\alpha ,1}$ és una funció entera d'ordre $1/\alpha$ i és, en algun sentit, la més simple de les funcions enteres d'aquest ordre.

La funció de Mittag-Leffler satisfà la següent propietat recurrent

$E_{\alpha ,\beta }(z)=\frac{1}{z}{E}_{\alpha ,\beta -\alpha }(z)-\frac{1}{z\mathrm{\Gamma }(\beta -\alpha ),}$

Casos especials

Per $\alpha =0$ trobem la suma d'una progressió geomètrica:

$E_{0,1}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^k=\frac{1}{1-z}.$

Per $\alpha =1$ trobem una funció exponencial:

$E_{1,1}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}=\exp (z).$

Per $\alpha =1/2$ trobem una funció d'error:

$E_{1/2,1}(z)=\exp (z^2)\mathrm{erfc}(-z).$

Per $\alpha =2$ trobem un cosinus hiperbòlic:

$E_{2,1}(z)=\cosh (\sqrt{z}).$

Per $\alpha =0,1,2$, la seva integral

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}{E}_{\alpha ,1}(-s^2)\mathrm{d}s$

dona, respectivament:

$\arctan (z),$

$\frac{\sqrt{\pi }}{2}\mathrm{erf}(z),$

$\sin (z).$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre

Enllaços externs

• Plantilla:Ref web Plantilla:En