Funció gamma inversa

La gràfica de la funció 1/Γ(x) al llarg de l'eix real.

Funció gamma inversa Plantilla:Math al pla complex. El color d'un punt z codifica el valor de Plantilla:Math. Els colors forts denoten valors prop de zero i el matís codifica l'argument del valor.

En matemàtiques, la funció gamma inversa és la funció:

$f(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)},$

on $\mathrm{\Gamma }(z)$ denota la funció gamma. Atès que la funció gamma és meromorfa i no és zero a tot el pla complex, la seva inversa és una funció entera. Com a funció entera, és de l'ordre 1 (és a dir, que el $loglog\left|\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}\right|$ no creix més ràpid que el $log|\mathrm{\Gamma }(z)|$), però de tipus infinit (el que significa que $log\left|\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}\right|$ creix més ràpid que qualsevol múltiple de $\left|z\right|$, ja que el seu creixement és aproximadament proporcional a $\left|z\right|log\left|z\right|$ al pla esquerre).

Aquesta funció inversa s'utilitza de vegades com a punt de partida per a la computació numèrica de la funció gamma, i algunes biblioteques de programari la proporcionen per separat de la funció gamma regular.

Karl Weierstrass va anomenar la funció gamma inversa «factorial» i la va utilitzar en el seu desenvolupament del teorema de factorització de Weierstrass.

Desenvolupament en producte infinit

Seguint les definicions de producte infinit per a la funció gamma, segons Euler i Weierstrass, respectivament, obtenim el següent desenvolupament en producte infinit per a la funció gamma inversa:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}& =z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+\frac{z}{n}}{{(1+\frac{1}{n})}^z}\\ \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}& =z{e}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n})e^{-\frac{z}{n}}\end{array}$

on $\gamma \approx 0,577216...$ és la constant d'Euler-Mascheroni. Aquests desenvolupaments són vàlids per a tots els nombres complexos Plantilla:Math.

Sèries de Taylor

Es produeix un desenvolupament de la sèrie de Taylor al voltant de $0$

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=z+\gamma z^2+(\frac{{\gamma }^2}{2}-\frac{{\pi }^2}{12})z^3+\cdots$

on $\gamma$ és la constant d'Euler-Mascheroni. Per a $k>2$, el coeficient $a_k$ per al terme $z^k$ es pot calcular recursivament com

$a_k=\frac{a_2{a}_{k-1}-\sum _{j=2}^{k-1}(-1{)}^j\zeta (j)a_{k-j}}{k-1}$

on $\zeta (s)$ és la funció zeta de Riemann. Fekih-Ahmed va trobar recentment una representació integral per a aquests coeficients:

$a_k=\frac{(-1{)}^n}{\pi n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}\mathrm{\Im }[(\log (t)-i\pi {)}^n]dt.$

Per a valors petits, aquesta dona els següents valors:

Plantilla:Math	Plantilla:Math
1	+1.0000000000000000000000000000000000000000
2	+0.5772156649015328606065120900824024310422
3	−0.6558780715202538810770195151453904812798
4	−0.0420026350340952355290039348754298187114
5	+0.1665386113822914895017007951021052357178
6	−0.0421977345555443367482083012891873913017
7	−0.0096219715278769735621149216723481989754
8	+0.0072189432466630995423950103404465727099
9	−0.0011651675918590651121139710840183886668
10	−0.0002152416741149509728157299630536478065
11	+0.0001280502823881161861531986263281643234
12	−0.0000201348547807882386556893914210218184
13	−0.0000012504934821426706573453594738330922
14	+0.0000011330272319816958823741296203307449
15	−0.0000002056338416977607103450154130020573
16	+0.0000000061160951044814158178624986828553
17	+0.0000000050020076444692229300556650480600
18	−0.0000000011812745704870201445881265654365
19	+0.0000000001043426711691100510491540332312
20	+0.0000000000077822634399050712540499373114
21	−0.0000000000036968056186422057081878158781
22	+0.0000000000005100370287454475979015481323
23	−0.0000000000000205832605356650678322242954
24	−0.0000000000000053481225394230179823700173
25	+0.0000000000000012267786282382607901588938
26	−0.0000000000000001181259301697458769513765
27	+0.0000000000000000011866922547516003325798
28	+0.0000000000000000014123806553180317815558
29	−0.0000000000000000002298745684435370206592
30	+0.0000000000000000000171440632192733743338

Una aproximació per a $a_k$ es pot trobar a l'obra abans esmentada de Fekih-Ahmed:

$a_k\approx (-1{)}^n\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sqrt{n}}{n!}\mathrm{\Im }\left(e^{-n{z}_0}\frac{z_0^{1/2-n}}{\sqrt{1+z_0}}\right),$

on $z_0=\frac{e^{W_{-1}(-n)}}{-n}$, i $W_{-1}$ és la menys la primera branca de la funció W de Lambert.

Desenvolupament asimptòtic

Com $\left|z\right|$ tendeix a l'infinit a una constant $arg(z)$ tenim:

$\ln (1/\mathrm{\Gamma }(z))\sim -z\ln (z)+z+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{z}{2\pi }\right)-\frac{1}{12z}+\frac{1}{360z^3}-\frac{1}{1260z^5}\text{per a}|\arg (z)|<\pi$

Representació integral de contorn

Una representació integral segons Hermann Hankel és

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=\frac{i}{2\pi }{\oint }_H(-t{)}^{-z}{e}^{-t}dt,$

on $H$ és el contorn d'Hankel, és a dir, el camí que envolta $0$ en la direcció positiva, que comença i torna a infinit positiu pel que fa a la branca tallada al llarg de l'eix real positiu. Segons Schmelzer & Trefethen, l'avaluació numèrica de la integral d'Hankel és la base d'alguns dels millors mètodes per a la computació de la funció gamma.

Representacions integrals en els enters positius

Per a enters positius $n\ge 1$, hi ha una integral per a la funció factorial inversa donada per

$\frac{1}{n!}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-nı\vartheta }{e}^{e^{ı\vartheta }}d\vartheta$.

De la mateixa manera, per a qualsevol real $c>0$ i $z\in ℂ$ es té la següent integral per a la funció gamma inversa al llarg de l'eix real en forma de:

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(c+ıt{)}^{-z}{e}^{c+ıt}dt,$

on el cas particular quan $z:=n+1/2$ proporciona una relació corresponent a la funció doble factorial inversa, $\frac{1}{(2n-1)!!}=\frac{\sqrt{\pi }}{2^n\cdot \mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})}$.

Integral al llarg de l'eix real

La integració de la funció gamma inversa al llarg de l'eix real positiu dona el valor

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}dx\approx 2.80777024,$

que es coneix com la constant de Fransén-Robinson.

Bibliografia

• Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations Plantilla:Webarchive
• Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function Plantilla:Webarchive
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
• Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld

Vegeu també

• Funció de Bessel-Clifford
• Distribució gamma inversa