Funció gudermanniana

Funció gudermanniana amb les seves asímptotes y=±π/2 de color blau.

La funció gudermanniana, anomenada així en honor de Christoph Gudermann (1798 - 1852), relaciona les funcions trigonomètriques circulars amb les funcions hiperbòliques sense fer servir nombres complexos.

Es defineix per

$\begin{array}{cc}\mathrm{g}\mathrm{d}(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dp}{\cosh (p)},\\ & =\arcsin (\tanh (x))=\arccos (\text{sech}(x)),\\ & =\arctan (\sinh (x))=\text{arcsec}(\cosh (x)),\\ & =\text{arccot}(\text{csch}(x))=\text{arccsc}(\coth (x)),\\ & =2\arctan (\tanh \left(\frac{x}{2}\right))=2\arctan (e^x)-\frac{\pi }{2}.\end{array}$

Es compleixen les identitats següents:

$\begin{array}{cc}\dot{\sin (\text{gd}(x))}& =\tanh (x);\cos (\text{gd}(x))=\text{sech}(x);\\ \tan (\text{gd}(x))& =\sinh (x);\sec (\text{gd}(x))=\cosh (x);\\ \cot (\text{gd}(x))& =\text{csch}(x);\csc (\text{gd}(x))=\coth (x);\\ {}_{.}\tan \left(\frac{\text{gd}(x)}{2}\right)& =\tanh \left(\frac{x}{2}\right).\end{array}$

La funció gudermanniana inversa.

La funció inversa de la funció gudermanniana ve donada per

$\begin{array}{cc}\text{arcgd}(x)& ={\mathrm{g}\mathrm{d}}^{-1}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dp}{\cos (p)},\\ & =\text{arccosh}(\sec (x))=\text{arctanh}(\sin (x)),\\ & =\ln (\sec (x)(1+\sin (x))),\\ & =\ln (\tan (x)+\sec (x))=\ln \tan (\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}),\\ & =\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin (x)}{1-\sin (x)}.\end{array}$

La derivada de la funció gudermanniana i la seva inversa són

$\frac{d}{dx}\text{gd}(x)=\text{sech}(x);\frac{d}{dx}\text{arcgd}(x)=\sec (x).$

Vegeu també

• Distribució de probabilitat hiperbòlica secant
• Projecció de Mercator
• Fórmula de la tangent de l'angle meitat
• Tractriu
• Llista d'identitats trigonomètriques

Referències

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.
• http://mathworld.wolfram.com/Gudermannian.html