Funció zeta d'Arakawa–Kaneko

En matemàtiques, la funció zeta d'Arakawa-Kaneko és una generalització de la funció zeta de Riemann, que genera valors especials de la funció polilogaritme.

Definició

La funció zeta ${\xi }_k(s)$ es defineix per

${\xi }_k(s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}}{e^t-1}{\mathrm{L}\mathrm{i}}_k(1-e^{-t})dt$

on Li_k és el k-polilogaritme

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_k(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n^k}$

Propietats

La integral convergeix per a $\mathrm{\Re }(s)>0$ i ${\xi }_k(s)$ i té continuació analítica en tot el pla complex com una funció entera.

El cas especial k = 1 dona ${\xi }_1(s)=s\zeta (s+1)$ on $\zeta$ és la funció zeta de Riemann.

El cas especial s = 1 també dona ${\xi }_k(1)=\zeta (k+1)$ on $\zeta$ és la funció zeta de Riemann.

Els valors en nombres enters estan relacionats amb valors de la funció zeta múltiple per a

${\xi }_k(m)={\zeta }_m^{*}(k,1,\dots ,1)$

on

${\zeta }_n^{*}(k_1,\dots ,k_{n-1},k_n)=\sum _{0<m_1<m_2<\cdots <m_n}\frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_{n-1}^{k_{n-1}}{m}_n^{k_n}}$

Referències

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació