Grup de Pauli

El gràfic de Möbius–Kantor, el gràfic de Cayley del grup de Pauli $G_1$ amb els generadors X, Y i Z

En física i matemàtiques, el grup Pauli $G_1$ en 1 qubit és el grup de matrius de 16 elements format per la matriu d'identitat $I$ 2×2 i totes les matrius de Pauli

$X={\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),Y={\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),Z={\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

juntament amb els productes d'aquestes matrius amb els factors $\pm 1$ i $\pm i$ :

$G_1\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\{\pm I,\pm iI,\pm X,\pm iX,\pm Y,\pm iY,\pm Z,\pm iZ\}\equiv ⟨X,Y,Z⟩$

El grup Pauli és generat per les matrius de Pauli, i com elles rep el nom de Wolfgang Pauli.

El grup Pauli de $n$ qubits, $G_n$, és el grup generat pels operadors descrits anteriorment aplicat a cadascun d'ells $n$ qubits a l'espai de Hilbert del producte tensor $({ℂ}^2{)}^{\otimes n}$. És a dir,

$$G_n=⟨W_1\otimes \cdots \otimes W_n:W_i\in \{X,Y,Z\}⟩.$$

L'ordre de $G_n$ és $4\cdot 4^n$ ja que un escalar $\pm 1$ o $\pm i$ factor en qualsevol posició del tensor es pot moure a qualsevol altra posició.

Com a grup abstracte, $G_1\cong C_4\circ D_4$ és el producte central d'un grup cíclic d'ordre 4 i el grup diedre d'ordre 8.

El grup Pauli és una representació del grup gamma en l'espai euclidià tridimensional. No és isomorf al grup gamma; és menys lliure, ja que el seu element quiral ho és ${\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3=iI$ mentre que no hi ha aquesta relació per al grup gamma.