Homomorfisme dual

Plantilla:Falta verificar admissibilitat Si $\phi :M⟶N$ és un homomorfisme entre dues estructures lineals (dos mòduls sobre el mateix anell o dos espais vectorials sobre el mateix cos $A$) hi ha un únic homomorfisme

${\phi }^{\ast }:N^{\ast }⟶M^{\ast }$

entre les respectives estructures duals que compleix

$⟨m,{\phi }^{\ast }(\nu )⟩=⟨\phi (m),\nu ⟩,m\in M,\nu \in N^{\ast }$

Aquest homomorfisme, ${\phi }^{\ast }$, és lPlantilla:'homomorfisme dual de l'homomorfisme $\phi$.

Existència i unicitat

Existència

La relació

$⟨m,{\phi }^{\ast }(\nu )⟩=⟨\phi (m),\nu ⟩,m\in M,\nu \in N^{\ast }$

defineix efectivament una única forma lineal a $M^{\ast }$. En efecte, del fet que la forma bilineal canònica de $M\times M^{\ast }$ és no degenerada en resulta que, si

$\mathrm{\forall }m\in M,⟨m,{\mu }_1⟩=⟨m,{\mu }_2⟩=⟨\phi (m),\nu ⟩,{\mu }_1,{\mu }_2\in M^{\ast },\nu \in N^{\ast }$

${\mu }_1-{\mu }_2$ pertany al subespai nul de la forma bilineal i, com que és no degenerada, és zero i ${\mu }_1={\mu }_2={\phi }^{\ast }(\nu )$. La linealitat de la forma ${\phi }^{\ast }(\nu )$ és, també immediata:

$\begin{array}{cc}⟨m,{\phi }^{\ast }({\lambda }_1{\nu }_1+{\lambda }_2{\nu }_2)⟩& =⟨\phi (m),{\lambda }_1{\nu }_1+{\lambda }_2{\nu }_2⟩={\lambda }_1⟨\phi (m),{\nu }_1⟩+{\lambda }_2⟨\phi (m),{\nu }_2⟩=\\ & ={\lambda }_1⟨m,{\phi }^{\ast }\left({\nu }_1\right)⟩+{\lambda }_2⟨m,\phi \left({\nu }_2\right)⟩=\\ & =⟨m,{\lambda }_1{\phi }^{\ast }\left({\nu }_1\right)+{\lambda }_2{\phi }^{ast}\left({\nu }_2\right)⟩,m\in M,{\nu }_1,{\nu }_2\in N^{\ast },{\lambda }_1,{\lambda }_2\in A\end{array}$

Unicitat

La mateixa argumentació, basada en la no degeneració de la forma bilineal canònica sobre $M\times M^{\ast }$, mostra la unicitat de l'homomorfisme dual: si

$\mathrm{\forall }m\in M,\mathrm{\forall }\nu \in N^{\ast },⟨m,{\phi }_1^{\ast }(\nu )⟩=⟨m,{\phi }_2^{\ast }(\nu )⟩=⟨\phi (m),\nu ⟩$

resulta

$\mathrm{\forall }m\in M,\mathrm{\forall }\nu \in N^{\ast },⟨m,{\phi }_1^{\ast }(\nu )-{\phi }_2^{\ast }(\nu )⟩=0$

és a dir,

$\mathrm{\forall }\nu \in N^{\ast },{\phi }_1^{\ast }(\nu )-{\phi }_2^{\ast }(\nu )=0$

i ${\phi }_1^{\ast }={\phi }_2^{\ast }$.

Propietats

Les següents propietats són immediates:

• ${(\lambda \phi +\mu \psi )}^{\ast }=\lambda {\phi }^{\ast }+\mu {\psi }^{\ast },\lambda ,\mu \in A$
• ${(\phi \circ \psi )}^{\ast }={\psi }^{\ast }\circ {\phi }^{\ast }$

Nuclis i imatges duals

Entre els nuclis i imatges d'homomorfismes duals en resulten les següents relacions de dualitat

${(\phi (M))}^{\ast }=N^{\ast }/\ker {\phi }^{\ast }$

${(M/\ker \phi )}^{\ast }={\phi }^{\ast }\left(N^{\ast }\right)$

perquè les dues formes bilineals

$\phi (M)\times N^{\ast }/\ker {\phi }^{\ast }⟶A$	$M/\ker \phi \times {\phi }^{\ast }\left(N^{\ast }\right)⟶A$
$⟨\phi (m),\tilde{\nu }⟩=⟨\phi (m),\nu ⟩$	$⟨\tilde{m},{\phi }^{\ast }(\nu )⟩=⟨m,{\phi }^{\ast }(\nu )⟩$

són no degenerades i, en conseqüència, tenen aquestes relacions de dualitat.

Aplicacions duals entre espais vectorials de dimensió finita

Si $M$ i $N$ són espais vectorials de dimensió finita, també ho són els duals $M^{\ast }$ i $N^{\ast }$ i els subespais $\ker \phi$, $\phi (M)$, $\ker {\phi }^{\ast }$, ${\phi }^{\ast }\left(N^{\ast }\right)$ i, de les relacions de dualitat ja establertes, en resulta

$\dim M=\dim M^{\ast }$	$\dim N=\dim N^{\ast }$
$\dim \phi (M)=\dim N^{\ast }/\ker {\phi }^{\ast }$	$\dim M/\ker \phi ={\phi }^{\ast }\left(N^{\ast }\right)$

que, junt amb els isomorfismes

$M/\ker \phi =\phi (M)$

$N^{\ast }/\ker {\phi }^{\ast }={\phi }^{\ast }(N)$

dona

$\dim \phi (M)=\dim {\phi }^{\ast }\left(N^{\ast }\right)$

i dues aplicacions duals, $\phi$ i ${\phi }^{\ast }$ tenen el mateix rang.

Matrius d'aplicacions duals

Si $M$, $M^{\ast }$ i $N$, $N^{\ast }$ són parelles duals d'espais vectorials de dimensió finita, $\phi :M⟶N$ i ${\phi }^{\ast }:N^{\ast }⟶M^{\ast }$ són dos homomorfismes duals i

${ℬ}_M=\{u_1,u_2,\dots u_m\}$	${ℬ}_{M^{\ast }}=\{u_1^{\ast },u_2^{\ast },\dots u_m^{\ast }\}$
${ℬ}_N=\{v_1,v_2,\dots u_n\}$	${ℬ}_{N^{\ast }}=\{v_1^{\ast },v_2^{\ast },\dots v_n^{\ast }\}$

en són les respectives bases i bases duals, la matriu de l'homomorfisme $\phi$ consisteix en les $m$ columnes $\phi (u_j),j=1,\dots ,m$, cadascuna amb $n$ elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila $i$ columna $j$ d'aquesta matriu és:

$\phi ⟷\left(\begin{array}{c}⟨\phi \left(u_j\right),v_i^{\ast }⟩\end{array}\right)$

D'altra banda, si convenim a disposar els elements dels duals com a vectors fila, la matriu de l'homomorfisme dual ${\phi }^{\ast }$ consisteix en les $n$ files ${\phi }^{\ast }(v_i^{\ast }),i=1,\dots ,n$, cadascuna amb $m$ elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila $i$ columna $j$ d'aquesta matriu és:

${\phi }^{\ast }⟷\left(\begin{array}{c}⟨u_j,{\phi }^{\ast }\left(v_i^{\ast }\right)⟩\end{array}\right)$

i, com que $⟨\phi \left(u_j\right),v_i^{\ast }⟩=⟨u_j,{\phi }^{\ast }\left(v_i^{\ast }\right)⟩$, resulta que ambdues matrius són idèntiques. Però, si convenim a disposar els elements del dual com a vectors columna, aleshores una matriu és la matriu transposada de l'altra.

Això i que els rangs de $\phi$ i de ${\phi }^{\ast }$ són iguals mostra que, en una matriu, el rang per files i el rang per columnes és el mateix i es pot parlar, doncs, del rang d'una matriu.

Vegeu també

• Estructures lineals duals
• Forma lineal