Identitat d'Euler

Imatge representativa de la identitat d'Euler al pla complex. Correspon a aplicar una rotació Plantilla:Math^{Plantilla:Mathπ} a l'element neutre 1, i afegir-hi una translació + 1. La rotació és d'angle π radians (mitja volta) respecte l'origen.

L'expressió

$e^{i\cdot \pi }+1=0$

identitat d'Euler, és una fórmula matemàtica (batejada pel físic estatunidenc Richard Feynman en homenatge a Leonard Euler) que uneix de forma simple diversos camps d'aquesta disciplina:

• [[Nombre_π|Plantilla:Math]] un nombre associat a la geometria.
• [[Nombre e|Plantilla:Math]] un nombre associat a l'anàlisi matemàtica.
• [[Nombre imaginari|Plantilla:Math]] un nombre bàsic en l'àlgebra.
• L'1 i el 0 que són una de les bases de l'aritmètica per ser els elements neutres de la multiplicació i l'addició.

Aquesta identitat és un cas particular de la fórmula d'Euler:

$e^{x+i\cdot y}=e^x\cdot (\cos y+i\cdot \sin y)$

per a x = 0 i y = π.

Explicació

Formula d'Euler general per a un angle

La funció Plantilla:Math^{Plantilla:Math} es pot definir com a límit de Plantilla:Nowrap, quan Plantilla:Math tendeix a infinit i, per tant, Plantilla:Math^{Plantilla:Mathπ} és el límit de Plantilla:Nowrap. En aquesta animació Plantilla:Math pren alguns valors creixents entre 1 i 100. El càlcul de Plantilla:Nowrap es mostra com a efecte combinat de Plantilla:Math multiplicacions repetides en el pla complex, de manera que el punt final és el valor de Plantilla:Nowrap. Es pot veure que quan Plantilla:Math es fa gran Plantilla:Nowrap s'acosta al límit de -1.

Des del punt de vista de l'anàlisi complexa, la identitat d'Euler és un cas particular de la fórmula d'Euler, que afirma que per qualsevol nombre real Plantilla:Math,

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

on els valors de les funcions trigonomètriques sinus i cosinus venen donats en radiants.

En particular quan: Plantilla:Math = Plantilla:Math, o mig gir (180°), al voltant d'una circumferència :

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi$

Com que

$\cos \pi =-1$ i també $\sin \pi =0$

l'equació queda

$e^{i\pi }=-1+0i$

d'on s'obté la identitat d'Euler:

$e^{i\pi }+1=0$

Això redueix el problema a la demostració de la fórmula d'Euler, qüestió que es remunta als fonaments de l'anàlisi complexa. La demostració depèn de com s'hagi definit la funció exponencial complexa o, equivalentment, de com s'hagi definit l'extensió de la potenciació als nombres complexos.