Incentre

Incentre i exincentres

LPlantilla:'incentre d'un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels seus angles. Els punts de tall de les bisectrius exteriors amb les interiors s'anomenen exincentres o excentres del triangle. L'incentre sempre és interior al triangle i els exincentres li són exteriors.

Incentre $I$ i exincentres $I_A$, $I_B$ i $I_C$, d'un triangle $\mathrm{△}ABC$

Existència i posicióPlantilla:Sfn

Incentre

Sigui el triangle $\mathrm{△}ABC$ i considerem les bisectrius dels angles $\hat{A}=2\alpha$ i $\hat{B}=2\beta$.

• Vegem primer que aquestes bisectrius es tallen: com que $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$, tenim que $\hat{A}+\hat{B}=2\alpha +2\beta <180^{\circ }$ i, per tant, $\alpha +\beta <90^{\circ }<180^{\circ }$. Ara, el cinquè postulat d'Euclides demana que les bisectrius es tallin en un punt $I$, situat en el semiplà definit pel costat $AB$ que conté els angles $\alpha$ i $\beta$, és a dir, el semiplà que conté el triangle $\mathrm{△}ABC$. De la mateixa manera, les bisectrius dels angles $\hat{A}=2\alpha$ i $\hat{C}=2\gamma$ es tallen en un punt del semiplà definit pel costat $AC$ que conté el triangle $\mathrm{△}ABC$ i les bisectrius dels angles $\hat{B}=2\beta$ i $\hat{C}=2\gamma$ es tallen en un punt del semiplà definit pel costat $BC$ que conté el triangle $\mathrm{△}ABC$.
• Ara trobem on es tallen: l'angle $\hat{A}$, que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta $AB$ que conté el vèrtex $C$ i el determinat per la recta $AC$ que conté el vèrtex $B$. Igualment, l'angle $\hat{B}$, que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta $AB$ que conté el vèrtex $C$ i el determinat per la recta $BC$ que conté el vèrtex $A$. En conseqüència, el punt $I$ d'intersecció de les bisectrius és a la intersecció d'aquests dos semiplans i de semiplà del paràgraf anterior, és a dir, a l'interior del triangle $\mathrm{△}ABC$. De la mateixa manera, qualsevol altra parella de bisectrius també es tallen en un punt interior del triangle $\mathrm{△}ABC$.
• Finalment, el punt $I$, com que pertany a la bisectriu de l'angle $\hat{A}$, equidista dels seus costats $AB$ i $AC$ i, com que pertany a la bisectriu de l'angle $\hat{B}$, equidista dels seus costats $BA$ i $BC$. En conseqüència, el punt $I$ equidista dels costats $CA$ i $CB$ de l'angle $\hat{C}$ i, per tant, pertany a la bisectriu de l'angle $\hat{C}$. Les tres bisectrius del triangle es tallen, doncs, en el punt $I$, que és lPlantilla:'incentre del triangle $\mathrm{△}ABC$.

Exincentres

Ara considerem les bisectrius exteriors dels angles $\hat{A}$ i $\hat{B}$, és a dir, les bisectrius dels angles $2\delta$ i $2\epsilon$ i la bisectriu interior de l'angle $\hat{C}=2\gamma$.

• Com que $2\delta +2ϵ=180^{\circ }-\hat{A}+180^{\circ }-\hat{B}=360^{\circ }-2(\alpha +\beta )$, tenim que $\delta +ϵ=180^{\circ }-(\alpha +\beta )<180^{\circ }$ i, novament segons el cinquè postulat d'Euclides, les bisectrius dels angles $2\delta$ i $2\epsilon$ es tallen en un punt $I_C$ del semiplà determinat pel costat $AB$ que no conté el triangle $\mathrm{△}ABC$. Igualment, qualsevol altra parella de bisectrius exteriors es tallen en un punt exterior al triangle $\mathrm{△}ABC$.
• L'angle $2\delta$ determinat pel costat $AB$ i la prolongació del costat $AC$ és la intersecció del semiplà definit per la recta $AB$ que no conté el triangle i el semiplà definit per la recta $AC$ que sí conté el triangle. En particular, la bisectriu d'aquest angle és a aquest darrer semiplà. De la mateixa manera, la bisectriu de l'angle $2\epsilon$ determinat pel costat $AB$ i la prolongació del costat $BC$ és al semiplà definit per la recta $BC$ que sí conté el triangle. Per tant, el punt $I_C$ d'intersecció de les dues bisectrius és a la intersecció dels dos semiplans, és a dir, a l'interior de l'angle $\hat{C}$.
• També, $\hat{B}+\hat{C}=2\beta +2\gamma <180^{\circ }$, o sigui que $\beta +\gamma <90^{\circ }$ i, com que, $\beta +\epsilon =90^{\circ }$, resulta $2\beta +\gamma +\epsilon =\hat{B}+\gamma +\epsilon <180^{\circ }$ i, altra vegada, del cinquè postulat d'Euclides, deduïm que les bisecrius dels angles $\hat{C}=2\gamma$ i $2\epsilon$ es tallen en un punt del semiplà determinat pel costat $AB$ que no conté el triangle $\mathrm{△}ABC$ i a l'interior de l'angle $\hat{C}$. Interseccions similars existeixen per a cada parella de bisectriu exterior i de bisectriu interior de vèrtexs diferents del triangle.
• Però el punt $I_C$ equidista de la recta $AC$ i de la recta $AB$, perquè pertany a la bisectriu de l'angle $2\delta$. També equidista de la recta $BC$ i de la recta $AB$, perquè pertany a la bisectriu de l'angle $2\epsilon$. En conseqüència, equidista de les rectes $AC$ i $BC$, com que jau a l'interior de l'angle $\hat{C}$, és de la bisectriu d'aquest angle $\hat{C}$. Les dues bisectrius exteriors corresponents als vèrtexs $A$ i $B$ i la bisectriu interior de l'angle $\hat{C}$ es tallen en el punt $I_C$, a l'exterior del triangle $\mathrm{△}ABC$, però a l'interior de l'angle $\hat{C}$. Aquest punt és un exincentre del triangle i, de la mateixa manera, en resulta l'existència i posició dels altres dos exincentres, $I_A$ i $I_B$.

Les bisectrius interiors d'un triangle com a línies cevianes.

Les bisectrius com a cevianes

Les bisectrius d'un triangle són línies cevianes. Segons el teorema de la bisectriu hi ha proporcionalitat entre els costats d'un angle d'un triangle i els dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat. Aleshores,

$\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC},\frac{QC}{QA}=\frac{BC}{BA},\frac{RA}{RB}=\frac{CA}{CB}$

Aleshores,

$\frac{PB}{PC}\frac{QC}{QA}\frac{RA}{RB}=\frac{AB}{AC}\frac{BC}{BA}\frac{CA}{CB}=1$

i, segons el teorema de Ceva, les tres bisectrius es tallen en un punt: lPlantilla:'incentre del triangle. Un ús similar dels teoremes de la bisectriu i de Ceva amb les bisectrius exteriors i interiors mostra l'existència dels exincentres.

Coordenades de l'incentre

Les coordenades cartesianes de l'incentre són una mitjana ponderada de les coordenades dels tres vèrtexs. Si els tres vèrtexs són $A=(x_a,y_a)$, $B=(x_b,y_b)$, i $C=(x_c,y_c)$, els vectors posició respectius són $\overrightarrow{A}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_a}{y_a})$, $\overrightarrow{B}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_b}{y_b})$ i $\overrightarrow{C}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_c}{y_c})$, i els costats oposats del triangle tenen com a longituds $a$, $b$, i $c$, llavors el vector posició de l'incentre és

i l'incentre $I$ és a

En efecte,

• Pel teorema de la bisectriu, aplicat a les bisectrius dels angles $\hat{A}$ i $\hat{B}$,

$\frac{c}{b}=\frac{BP}{PC}=\frac{BP}{BC-BP}=\frac{BP}{a-BP},\frac{c}{a}=\frac{AQ}{QC}=\frac{AQ}{AC-AQ}=\frac{AQ}{b-AQ}$

que dona

$BP=\frac{ac}{b+c},AQ=\frac{bc}{a+c}$

• Pels vectors $\overrightarrow{BP}$ i $\overrightarrow{AQ}$ tenim:

$\overrightarrow{BP}=\frac{BP}{BC}\overrightarrow{BC}=\frac{BP}{a}\overrightarrow{BC}=\frac{c}{b+c}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AQ}=\frac{AQ}{AC}\overrightarrow{AC}=\frac{AQ}{b}\overrightarrow{AC}=\frac{c}{a+c}\overrightarrow{AC}$

• Pels vectors $\overrightarrow{AI}$ i $\overrightarrow{BI}$ hi ha nombres reals $\lambda$ i $\mu$ amb $\overrightarrow{AI}=\lambda \overrightarrow{AP}$ i $\overrightarrow{BI}=\mu \overrightarrow{BQ}$. Aleshores, tot expressant el vector $\overrightarrow{AI}$ d'aquestes dues maneres, $\overrightarrow{AI}=\lambda \overrightarrow{AP}$ i $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}$, tenim:

$\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{AI}& =& \lambda \overrightarrow{AP}=\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP})=\lambda (\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{BC})=\lambda \overrightarrow{AB}+\frac{\lambda c}{b+c}\overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{AI}& =& \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AB}+\mu (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AQ})=\overrightarrow{AB}+\mu (\overrightarrow{BA}+\frac{c}{a+c}\overrightarrow{AC})=\\ & =& \overrightarrow{AB}+\mu (\overrightarrow{BA}+\frac{c}{a+c}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}))=(1-\mu +\frac{\mu c}{a+c})\overrightarrow{AB}+\frac{\mu c}{a+c}\overrightarrow{BC}\end{array}$

• Ara, la independència lineal dels vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$ demana que

$\{\begin{array}{ccc}\lambda & =& 1-\mu +\frac{\mu c}{a+c}\\ \frac{\lambda c}{b+c}& =& \frac{\mu c}{a+c}\end{array}$

• El sistema anterior, que és un sistema lineal, té les solucions

$\lambda =\frac{b+c}{a+b+c}\mu =\frac{a+c}{a+b+c}$

• Finalment,

$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{I}& =& \overrightarrow{A}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{AB}+\frac{\lambda c}{b+c}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A}+\lambda (\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})+\frac{\lambda c}{b+c}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B})=\\ & =& \overrightarrow{A}+\frac{b+c}{a+b+c}(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})+\frac{c}{a+b+c}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B})=\\ & =& \frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{A}+\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{B}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{C}\end{array}$

Circumferències inscrita i exinscrites a un triangle

Circumferència inscrita $\Im$ i circumferències exinscrites ${𝔈}_A$, ${𝔈}_B$ i ${𝔈}_C$ al triangle $\mathrm{△}ABC$

Com que l'incentre $I$ d'un triangle $\mathrm{△}ABC$ equidista dels seus costats $a$, $b$ i $c$, els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència $\Im$ amb centre a l'incentre $I$ i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incircle).

El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles).

Vegeu també

• Circumferència inscrita
• Teorema de la bisectriu
• Teorema de Ceva

Bibliografia

1. Plantilla:Ref-llibre
2. Plantilla:Ref-llibre

Enllaços externs

• Plantilla:GEC
• Plantilla:MathWorld