Teorema de la bisectriu

El teorema per a bisectrius interiors

El teorema de la bisectriu relaciona els costats d'un angle d'un triangle i els dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat:

Enunciat

Plantilla:Teorema

Concreció en una figura

A la figura, la bisectriu $b$ de l'angle $\hat{A}$ del triangle $\mathrm{△}ABC$ determina un punt $M$ en el costat $BC$ pel qual

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}$

Demostració

Pel vèrtex $B$ del triangle $\mathrm{△}ABC$ tirem una recta paral·lela a la bisectriu $b$, que talla la recta que conté el costat $AC$ en el punt $X$. Tenim dues rectes, $CX$ i $CB$ tallades per dues rectes paral·leles $AM$ i $XB$. Aleshores hi ha aquestes igualtats d'angles: $\widehat{MAC}=\widehat{BXC}=\alpha$ perquè són angles corresponents, i $\widehat{BAM}=\widehat{ABX}=\beta$ perquè són angles alterns interns Però, com que $AM$ és la bisectriu de l'angle $\hat{A}=\widehat{BAC}$, resulta $\alpha =\beta$ i el triangle $\mathrm{△}BAX$ és un triangle isòsceles. Per tant, $\overline{AB}=\overline{AX}$.

D'altra banda, per ser $AM$ i $XB$ paral·lels, del teorema de Tales se'n dedueix:

$\frac{\overline{AX}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}$

o sigui,

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}$

com volíem demostrarPlantilla:Sfn.

El teorema per a bisectrius exteriors

Per a bisectrius exteriors d'un triangle hi ha un enunciat del tot paral·lel:

Enunciat

Plantilla:Teorema

Concreció en una figura

A la figura, la bisectriu $b^{\prime }$ de l'angle $\hat{A}$ del triangle $\mathrm{△}ABC$ determina un punt $M$ en el costat $BC$ pel qual

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{M^{\prime }B}}{\overline{M^{\prime }C}}$

Demostració

Com abans, pel vèrtex $B$ del triangle $\mathrm{△}ABC$ tirem una recta paral·lela a la bisectriu $b^{\prime }$, que talla el costat $AC$ en el punt $X$. Tenim dues rectes, $CA$ i $C{M}^{\prime }$ tallades per dues rectes paral·leles $A{M}^{\prime }$ i $XB$. Aleshores hi ha aquestes igualtats d'angles: $\widehat{AXB}=\widehat{YA{M}^{\prime }}=\alpha$ perquè són angles corresponents, i $\widehat{M^{\prime }AB}=\widehat{XBA}=\beta$ perquè són angles alterns interns Però, com que $A{M}^{\prime }$ és la bisectriu de l'angle $\widehat{YAB}$, resulta $\alpha =\beta$ i el triangle $\mathrm{△}BAX$ és un triangle isòsceles. Per tant, $\overline{AB}=\overline{AX}$.

D'altra banda, per ser $A{M}^{\prime }$ i $XB$ paral·lels, del teorema de Tales se'n dedueix:

$\frac{\overline{AX}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{M^{\prime }B}}{\overline{M^{\prime }C}}$

o sigui,

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{M^{\prime }B}}{\overline{M^{\prime }C}}$

com volíem demostrar.

Vegeu també

• Circumferència d'Apol·loni

Bibliografia

1. Plantilla:Ref-llibre
2. Plantilla:Ref-llibre
3. Plantilla:Ref-llibre
4. Plantilla:Ref-llibre

Enllaços externs

• Plantilla:MathWorld