Integral de Duhamel

La integral de Duhamel En la teoria de vibracions, és un mètode per calcular la resposta de sistemes lineals i estructures a excitacions externes arbitràries variables en el temps. Rep el seu nom del matemàtic francès Jean Marie Duhamel.

Introducció

Previ

La resposta d'un sistema lineal esmorteït d'un sol grau de llibertat a una excitació mecànica variable en el temps p(t) ve donada per l'equació diferencial ordinària de segon ordre següent:

$m\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}+c\frac{dx(t)}{dt}+kx(t)=p(t)$

on m és la massa (equivalent), x és l'amplitud de vibració, t el temps, c el coeficient d'esmorteïment viscos, i k la rigidesa del sistema o estructura.

Si un sistema inicialment en repòs i en equilibri rep un impuls unitari a l'instant t=0, és a dir que p(t) a l'equació anterior és una funció delta δ(t), $x(0)={\frac{dx}{dt}|}_{t=0}=0$, aleshores la solució de l'equació diferencial és una solució fonamental coneguda com a funcio resposta a l'impuls unitari)

$h(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{m{\omega }_d}{e}^{-\varsigma {\omega }_{n}t}\sin {\omega }_{d}t,& t>0\\ 0,& t<0\end{array}$

on $\varsigma =\frac{c}{2m{\omega }_n}$ rep el nom raó d'esmorteïment del sistema, ${\omega }_n$ és la pulsació natural del sistema no esmorteït (és a dir, quan c=0) i ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\varsigma }^2}$ és la freqüència circular quan es té en compte l'efecte de l'esmorteïment (és a dir quan $c\ne 0$). Si l'impuls es dona a t=τ en lloc de t=0, és a dir $p(t)=\delta (t-\tau )$, la resposta a l'impuls és

$h(t-\tau )=\frac{1}{m{\omega }_d}{e}^{-\varsigma {\omega }_n(t-\tau )}\sin [{\omega }_d(t-\tau )]$，$t\ge \tau$

Conclusió

Expressant l'excitació arbitrària p(t) com a la superposició d'una sèrie d'impulsos:

$p(t)\approx \sum p(\tau )\cdot \mathrm{\Delta }\tau \cdot \delta (t-\tau )$

aleshores, de la linealitat del sistema, se sap que la resposta total també es pot expressar com la superposició de la sèrie de respostes als impulsos:

$x(t)\approx \sum p(\tau )\cdot \mathrm{\Delta }\tau \cdot h(t-\tau )$

Si es fa $\mathrm{\Delta }\tau \to 0$, i canviant la suma per una integral, l'equació anterior és estrictament vàlida

$x(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}p(\tau )h(t-\tau )d\tau$

Substituint l'expressió de h(t-τ) en l'equació anterior porta a l'expressió general de la integral de Duhamel

$x(t)=\frac{1}{m{\omega }_d}\underset{0}{\overset{t}{\int }}p(\tau )e^{-\varsigma {\omega }_n(t-\tau )}\sin [{\omega }_d(t-\tau )]d\tau$

Bibliografia

• R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., Nova York, 1975. (en angles)
• Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001 (en angles)
• Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986 (en angles)

Enllaços externs

• Fórmula de Duhamel Plantilla:Webarchive a "Dispersive Wiki".Plantilla:En