Integral de Volkenborn

En matemàtiques, en el camp de l'anàlisi p-àdic, la integral de Volkenborn és un mètode d'integració de funcions p-àdiques.

Aquesta integral va ser definida pel matemàtic alemany Arnt Volkenborn en la seva dissertació a la Universitat de Colònia el 1971.

Definició

Sigui $f:{\mathbb{Z}}_p\to {ℂ}_p$ una funció dels enters p-àdics que prenen valors en els nombres p-àdics. La integral de Volkenborn es defineix pel límit, si existeix:

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p^n}\sum _{x=0}^{p^n-1}f(x).$

Més en general, si

$R_n=\{x=\sum _{i=r}^{n-1}{b}_i{x}^i|b_i=0,\dots ,p-1\text{ per a }r<n\}$

llavors

$\underset{K}{\int }f(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p^n}\sum _{x\in R_n\cap K}f(x).$

Exemples

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }1\mathrm{d}x=1$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{x}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{6}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{x}^k\mathrm{d}x=B_k$

on $B_k$ és el k-èssim nombre de Bernoulli.

Els quatre exemples anteriors es poden comprovar fàcilment mitjançant l'ús directe de la definició i la fórmula de Faulhaber.

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})\mathrm{d}x=\frac{(-1{)}^k}{k+1}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }(1+a{)}^x\mathrm{d}x=\frac{\log (1+a)}{a}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{e}^{ax}\mathrm{d}x=\frac{a}{e^a-1}$

Els dos últims exemples es poden comprovar formalment expandint la sèrie de Taylor i integrant el terme.

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{\log }_p(x+u)\mathrm{d}u={\psi }_p(x)$

amb la funció logarítmica p-àdica ${\log }_p$ i la funció digamma p-àdica ${\psi }_p$

Propietats

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(x+m)\mathrm{d}x=\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(x)\mathrm{d}x+\sum _{x=0}^{m-1}{f}^{\prime }(x)$

A partir d'aquí es dedueix que la integral de Volkenborn no és invariant per la translació.

Si $P^t=p^t{\mathbb{Z}}_p$ llavors

$\underset{P^t}{\int }f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{p^t}\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(p^{t}x)\mathrm{d}x$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre