Métode Einstein-Brillouin-Keller

El mètode Einstein–Brillouin–Keller (EBK) és una tècnica semiclàssica (anomenta així en honor a Albert Einstein, Léon Brillouin, i Joseph B. Keller) que s'empra per calcular valors propis en sistemes de mecànica quàntica. La quantificació EBK és una millora de la quantificació de Bohr-Sommerfeld que no considerava els salts de fase càustica als punts d'inflexió clàssics. Aquest procediment és capaç de reproduir exactament l'espectre de l'oscil·lador harmònic 3D, la partícula en una caixa i fins i tota l'estructura fina relativista de l'àtom d'hidrogen.

El 1976–1977, Michael Berry i M. Tabor van derivar una extensió de la fórmula de traça de Gutzwiller per a la densitat d'estats d'un sistema integrable a partir de la quantificació EBK.

Hi ha hagut una sèrie de resultats recents sobre qüestions computacionals relacionades amb aquest tema, per exemple, el treball d'Eric J. Heller i Emmanuel David Tannenbaum utilitzant un enfocament de descens del gradient d'equacions diferencials parcials.

Procediment

Donat un sistema clàssic separable definit per coordenades $(q_i,p_i);i\in \{1,2,\cdots ,d\}$, en què cada parella $(q_i,p_i)$ descriu una funció tancada o una funció periòdica en $q_i$, el procediment EBK implica quantificar les integrals de línia de $p_i$ sobre l'òrbita tancada de $q_i$ :

$I_i=\frac{1}{2\pi }\oint p_{i}d{q}_i=\hslash (n_i+\frac{{\mu }_i}{4}+\frac{b_i}{2})$

on $I_i$ és la coordenada de l'angle d'acció, $n_i$ és un nombre enter positiu i ${\mu }_i$ i $b_i$ són índexs de Maslov. ${\mu }_i$ correspon al nombre de punts d'inflexió clàssics en la trajectòria de $q_i$ (Condició de límit de Dirichlet), i $b_i$ correspon al nombre de reflexions amb una paret dura (condició de límit de Neumann).

Exemples

Oscil·lador harmònic 1D

L'Hamiltonià d'un oscil·lador harmònic simple ve donat per

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}$

on $p$ és el moment lineal i $x$ la coordenada de la posició. La variable d'acció ve donada per

$I=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{x_0}{\int }}\sqrt{2mE-m^2{\omega }^2{x}^2}\mathrm{d}x$

on ho hem utilitzat $H=E$ és l'energia i que la trajectòria tancada és 4 vegades la trajectòria des de 0 fins al punt d'inflexió $x_0=\sqrt{2E/m{\omega }^2}$.

La integral resulta ser

$E=I\omega$ ,

que sota la quantificació EBK hi ha dos punts d'inflexió suaus a cada òrbita ${\mu }_x=2$ i $b_x=0$. Finalment, això resulta

$E=\hslash \omega (n+1/2)$ ,

que és el resultat exacte de la quantificació de l'oscil·lador harmònic quàntic.