Matriu de Hankel

En àlgebra lineal, una matriu de Hankel (o matriu catalèctica), anomenada després d'Hermann Hankel, és una matriu quadrada en la qual cada diagonal inclinada ascendent d'esquerra a dreta és constant. Per exemple,$$\left[\begin{array}{ccccc}a& b& c& d& e\\ b& c& d& e& f\\ c& d& e& f& g\\ d& e& f& g& h\\ e& f& g& h& i\end{array}\right].$$De manera més general, una matriu de Hankel és qualsevol $n\times n$ matriu $A$ de la forma$$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_0& a_1& a_2& \dots & a_{n-1}\\ a_1& a_2& & & ⋮\\ a_2& & & & a_{2n-4}\\ ⋮& & & a_{2n-4}& a_{2n-3}\\ a_{n-1}& \dots & a_{2n-4}& a_{2n-3}& a_{2n-2}\end{array}\right].$$Pel que fa als components, si el $i,j$ element de $A$ es denota amb $A_{ij}$, i suposant $i\le j$, llavors tenim $A_{i,j}=A_{i+k,j-k}$ per a tot $k=0,...,j-i.$

Propietats

• Qualsevol matriu de Hankel és simètrica.
• Sigui $J_n$ una matriu d'intercanvi $n\times n$. Si és un La matriu mxn de Hankel, ja que $H=T{J}_n$ on $T$ és un Matriu mxn de Toeplitz.
  • Si és real simètric, ja que $H=T{J}_n$ tindrà els mateixos valors propis que $T$ fins a signar.
• La matriu de Hilbert és un exemple de matriu de Hankel.
• El determinant d'una matriu de Hankel s'anomena catalecticant.

Operador Hankel

Donada una sèrie formal de Laurent$$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^N{a}_n{z}^n$$l'operador Hankel corresponent es defineix com

$$H_f:𝐂[z]\to {𝐳}^{-1}𝐂[[z^{-1}]],$$Això pren un polinomi $g\in 𝐂[z]$ i l'envia al producte $fg$, però descarta tots els poders de $z$ amb un exponent no negatiu, per donar un element a $z^{-1}𝐂[[z^{-1}]]$, la sèrie de potències formals amb exponents estrictament negatius. El mapa $H_f$ és d'una manera natural $𝐂[z]$ -lineal, i la seva matriu respecte als elements $1,z,z^2,\dots \in 𝐂[z]$ i $z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}𝐂[[z^{-1}]]$ és la matriu de Hankel$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& \dots \\ a_2& a_3& \dots \\ a_3& a_4& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right].$$Qualsevol matriu de Hankel sorgeix d'aquesta manera. Un teorema degut a Kronecker diu que el rang d'aquesta matriu és finit precisament si $f$ és una funció racional ; és a dir, una fracció de dos polinomis

$$f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}.$$

Aplicacions de les matrius de Hankel

Les matrius de Hankel es formen quan, donada una seqüència de dades de sortida, es desitja la realització d'un espai d'estats subjacent o model de Markov ocult. La descomposició de valors singulars de la matriu de Hankel proporciona un mitjà per calcular les matrius A, B i C que defineixen la realització de l'espai d'estats. La matriu de Hankel formada a partir del senyal s'ha trobat útil per a la descomposició de senyals no estacionaris i la representació temps-freqüència.

Mètode de moments per a distribucions polinomials

El mètode dels moments aplicat a les distribucions polinomials dona com a resultat una matriu de Hankel que cal invertir per obtenir els paràmetres de pes de l'aproximació de la distribució polinòmica.