Matriu de correlació creuada

La matriu de correlació creuada de dos vectors aleatoris és una matriu que conté com a elements les correlacions creuades de tots els parells d'elements dels vectors aleatoris. La matriu de correlació creuada s'utilitza en diversos algorismes de processament de senyals digitals.

Per a dos vectors aleatoris $𝐗=(X_1,\dots ,X_m{)}^{\mathrm{T}}$ i $𝐘=(Y_1,\dots ,Y_n{)}^{\mathrm{T}}$, cadascun dels quals conté elements aleatoris el valor esperat i la variància dels quals existeixen, la matriu de correlació creuada de $𝐗$ i $𝐘$ es defineix per Plantilla:Rp

${\mathrm{R}}_{𝐗𝐘}\triangleq \mathrm{E}[𝐗{𝐘}^{\mathrm{T}}]$

i té unes dimensions

$m\times n$

. Escrit per components:

${\mathrm{R}}_{𝐗𝐘}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{E}[X_1{Y}_1]& \mathrm{E}[X_1{Y}_2]& \cdots & \mathrm{E}[X_1{Y}_n]\\ \\ \mathrm{E}[X_2{Y}_1]& \mathrm{E}[X_2{Y}_2]& \cdots & \mathrm{E}[X_2{Y}_n]\\ \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \\ \mathrm{E}[X_m{Y}_1]& \mathrm{E}[X_m{Y}_2]& \cdots & \mathrm{E}[X_m{Y}_n]\\ \end{array}\right]$

Els vectors aleatoris $𝐗$ i $𝐘$ no cal que tinguin la mateixa dimensió, i també poden ser un valor escalar.

Exemple:

Per exemple, si $𝐗={(X_1,X_2,X_3)}^{\mathrm{T}}$ i $𝐘={(Y_1,Y_2)}^{\mathrm{T}}$ són vectors aleatoris, llavors ${\mathrm{R}}_{𝐗𝐘}$ és una matriu $3\times 2$ on $(i,j)$ representa $\mathrm{E}[X_i{Y}_j]$.