Matriu de decalatge

En matemàtiques, una matriu de decalatge és una matriu booleana amb entrades iguals a 1 només a la superdiagonal o a la subdiagonal, i zeros altrament. Una matriu de decalatge U amb valors 1 a la superdiagonal s'anomena matriu de decalatge superior (la notació U prové de l'anglès upper, superior). Anàlogament, una matriu de decalatge L amb valors 1 a la subdiagonal s'anomena matriu de decalatge inferior (la notació L prové de l'anglès lower, inferior). L'entrada (i,j)-sima de U i L es defineix per

$U_{ij}={\delta }_{i+1,j},L_{ij}={\delta }_{i,j+1},$

on ${\delta }_{ij}$ és el símbol delta de Kronecker.

Per exemple, les matrius de decalatge 5×5 són

$U_5=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)L_5=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right).$

Òbviament, la transposada d'una matriu de decalatge inferior és una matriu de decalatge superior i viceversa.

Si multipliquem per l'esquerra una matriu A per una matriu de decalatge inferior (resp. superior), obtenim una altra matriu on els elements de A s'han desplaçat una posició cap avall (resp. cap amunt), i amb zeros a la primera (resp. última) fila. Anàlogament, si multipliquem per la dreta per una matriu de decalatge inferior (resp. superior), veurem que els elements es desplacen una posició cap a l'esquerra (resp. dreta).

Hom pot veure fàcilment que qualsevol matriu de decalatge és nilpotent; una matriu de decalatge S de mida n per n esdevé la matriu zero quan s'eleva a l'n-sima potència.

Propietats

Siguin L i U les matrius de decalatge inferior i superior de mida n per n, respectivament. Llavors hom pot observar-ne les següents propietats:

• det (U) = 0
• tr (U) = 0
• rang (U) = n−1
• El polinomi característic de U és

$p_U(\lambda )=(-1{)}^n{\lambda }^n.$

• Uⁿ = 0. Això es desprèn de la propietat anterior pel Teorema de Cayley-Hamilton.
• El permanent de U és 0.

(anàlogament per L)

Les següents propietats mostren la relació entre U i L:

• L^T = U; U^T = L
• Els nuclis de U i L són

$\mathrm{nuc}(U)=⟨(1,0,\dots ,0{)}^T⟩,$

$\mathrm{nuc}(L)=⟨(0,\dots ,0,1{)}^T⟩.$

• L'espectre de U i L és $\{0\}$. La multiplicitat algebraica de 0 és n, i la seva multiplicitat geomètrica és 1. A partir de les expressions dels nuclis, és una conseqüència que l'únic vector propi (llevat d'homotècia) de U és $(1,0,\dots ,0{)}^T$, i l'únic vector propi de L és $(0,\dots ,0,1{)}^T$.
• Per LU i UL tenim

$UL=I-\mathrm{diag}(0,\dots ,0,1),$

$LU=I-\mathrm{diag}(1,0,\dots ,0).$

Aquestes dues matrius són idempotents, simètriques, i tenen el mateix rang que U i L.

• L^n-aU^n-a + L^aU^a = U^n-aL^n-a + U^aL^a = I (la matriu identitat), per qualsevol enter a entre 0 and n (ambdós inclosos).

Exemples

$S=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right);A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\\ 1& 2& 3& 2& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$

Llavors $SA=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\\ 1& 2& 3& 2& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\end{array}\right);AS=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 2& 2& 2& 1& 0\\ 2& 3& 2& 1& 0\\ 2& 2& 2& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right).$

Existeixen moltes permutacions possibles. Per exemple, $S^{T}AS$ és igual a la matriu A desplaçada cap amunt i cap a l'esquerra al llarg de la diagonal principal.

$S^{T}AS=\left(\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& 1& 0\\ 2& 3& 2& 1& 0\\ 2& 2& 2& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

Referències

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation

Bibliografia

• Shift Matrix (Matriu de decalatge) - entrada en el Matrix Reference Manual (en anglès)

Vegeu també

• Matriu nilpotent