Matriu nilpotent

En àlgebra lineal, una matriu nilpotent és una matriu quadrada N tal que

$N^k=0$

per algun enter positiu k. Hom anomena grau de N el valor k més petit que compleix aquesta propietat.

Més generalment, una transformació nilpotent és una aplicació lineal L d'un espai vectorial tal que L^k = 0 per algun enter positiu k (i, per tant, L^j = 0 per qualsevol j ≥ k). Aquests dos conceptes són casos particulars d'un concepte més general de nilpotència vàlid pels elements d'un anell.

Exemples

La matriu

$M=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

és nilpotent, ja que M² = 0. Més generalment, qualsevol matriu triangular amb zeros a la diagonal principal és nilpotent. Per exemple, la matriu

$N=\left[\begin{array}{cccc}0& 2& 1& 6\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

és nilpotent, amb

$N^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 2& 7\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^4=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

Encara que els exemples que hem vist tenen un gran nombre d'entrades nul·les, en general no té per què ser així. Per exemple, les matrius

$\left[\begin{array}{cc}6& -9\\ 4& -6\end{array}\right]\text{i}\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ 15& -9& 6\\ 10& -6& 4\end{array}\right]$

si s'eleven al quadrat obtenim la matriu nul·la, tot i que cap d'elles té cap entrada nul·la.

Caracterització

Per qualsevol matriu quadrada N de dimensió n × n a entrades reals (o complexos), les següents afirmacions són equivalents:

1. N és nilpotent.
2. El polinomi mínim de N és λ^k per algun enter positiu k ≤ n.
3. El polinomi característic de N és λⁿ.
4. L'únic valor propi (complex) de N és 0.
5. tr (N^k) = 0 per qualsevol k > 0.

L'últim teorema és cert per matrius sobre qualsevol cos de característica 0 o de característica prou gran. (cf. Identitats de Newton)

Aquest teorema té diverses conseqüències, entre d'altres:

• El grau d'una matriu nilpotent de dimensió n × n és sempre menor o igual a n. Per exemple, qualsevol matriu nilpotent 2 × 2 multiplicada per ella mateixa dona la matriu nul·la.
• El determinant i la traça d'una matriu nilpotent són sempre zero.
• L'única matriu nilpotent diagonalitzable és la matriu nul·la.

Classificació

Considerem la matriu de decalatge n × n:

$S=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ 0& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right].$

Aquesta matriu té uns a la diagonal superior i zeros altrament. Com a aplicació lineal, la matriu de decalatge "mou" els components d'un vector un lloc cap a l'esquerra:

$S(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(x_2,\dots ,x_n,0).$

Aquesta matriu és nilpotent amb grau n, i és la matriu nilpotent "canònica".

Si N és una matriu nilpotent qualsevol, aleshores N és semblant a una matriu diagonal per blocs de la forma

$\left[\begin{array}{cccc}{S}_1& 0& \dots & 0\\ 0& S_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & S_r\end{array}\right]$

on cadascun dels blocs S₁, S₂, ..., S_r és una matriu de decalatge (eventualment de dimensions diferents). Aquest teorema és un cas especial de la forma canònica de Jordan per matrius.

Per exemple, qualsevol matriu nilpotent 2 × 2 no-nul·la és semblant a la matriu

$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$

És a dir, si N és una matriu nilpotent 2 × 2 no-nul·la, aleshores existeix una base b₁, b₂ tal que Nb₁ = 0 i Nb₂ = b₁.

Aquest teorema de classificació és vàlid per matrius sobre qualsevol cos. (No és necessari que el cos sigui algebraicament tancat.)

Torre de subespais

Una transformació nilpotent L sobre ℝⁿ determina de manera natural una torre de subespais

$\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^2\subset \dots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^q={ℝ}^n$

i una signatura

$0=n_0<n_1<n_2<\dots <n_{q-1}<n_q=n,n_i=\dim \ker L^i.$

La signatura caracteritza L llevat d'una aplicació lineal invertible. Addicionalment, satisfà les desigualtats

$n_{j+1}-n_j\le n_j-n_{j-1},\text{per tot }j=1,\dots ,q-1.$

Recíprocament, qualsevol seqüència de nombres naturals que satisfan aquestes desigualtats és la signatura d'una transformació nilpotent.

Propietats addicionals

• Si N és nilpotent, aleshores I + N és invertible, on I és la matriu identitat de dimensió n × n. La inversa es calcula observant que

$(I+N{)}^{-1}=I-N+N^2-N^3+\cdots ,$

on només un nombre finit de termes són no-nuls.

• Si N és nilpotent, llavors

$\det (I+N)=1,$

on I denota la matriu identitat de dimensió n × n. Recíprocament, si A és una matriu i

$\det (I+tA)=1$

per tots els valors de t, llavors A és nilpotent.

• Qualsevol matriu singular pot ser escrita com a producte de matrius nilpotents.

Generalitzations

Un operador lineal T és localment nilpotent si, per tot vector v, existeix un k tal que

$T^k(v)=0.$

Per operadors en un espai vectorial de dimensió finita, la nilpotència local és equivalent a la nilpotència.

Enllaços externs

• Matriu nilpotent Plantilla:Webarchive i transformació nilpotent a PlanetMath.