Matrius gamma

En física matemàtica, les matrius gamma, $\{{\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^3\},$ també anomenades matrius de Dirac, són un conjunt de matrius convencionals amb relacions d'anticomutació específiques que asseguren que generin una representació matricial de l'àlgebra de Clifford ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{1,3}(ℝ).$ També és possible definir matrius gamma de dimensions superiors. Quan s'interpreten com les matrius de l'acció d'un conjunt de vectors de base ortogonal per a vectors contravariants a l'espai de Minkowski, els vectors columna sobre els quals actuen les matrius es converteixen en un espai d'espinors, sobre el qual actua l'àlgebra de Clifford de l'espai-temps. Això al seu torn fa possible representar rotacions espacials infinitesimals i impulsos de Lorentz. Els spinors faciliten els càlculs espacials en general i, en particular, són fonamentals per a l'equació de Dirac per a partícules amb l'e[[Spin-1/2|Plantilla:Nowrap]] relativista. Les matrius gamma van ser introduïdes per Paul Dirac el 1928. Plantilla:Sfn

En la representació de Dirac, les quatre matrius gamma contravariants són

$\begin{array}{cccc}{\gamma }^0& =\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),& {\gamma }^1& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right),\\ \\ {\gamma }^2& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right),& {\gamma }^3& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$

${\gamma }^0$ és la matriu hermitiana, semblant al temps. Les altres tres són matrius espacials, anti-hermitianes. De manera més compacta, ${\gamma }^0={\sigma }^3\otimes I_2,$ i ${\gamma }^j=i{\sigma }^2\otimes {\sigma }^j,$ on $\otimes$ denota el producte Kronecker i el ${\sigma }^j$ (per a Plantilla:Nowrap ) denota les matrius de Pauli.

A més, per a discussions sobre la teoria de grups, la matriu d'identitat (Plantilla:Mvar) s'inclou de vegades amb les quatre matrius gamma, i hi ha una "cinquena" matriu auxiliar sense rastre que s'utilitza juntament amb les matrius gamma regulars.

$\begin{array}{c}{I}_4=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),{\gamma }^5\equiv i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$

La "cinquena matriu" ${\gamma }^5$ no és un membre adequat del conjunt principal de quatre; s'utilitza per separar representacions quirals nominals esquerra i dreta.

Les matrius gamma tenen una estructura de grup, el grup gamma, que és compartida per totes les representacions matricials del grup, en qualsevol dimensió, per a qualsevol signatura de la mètrica. Per exemple, les matrius de Pauli 2×2 són un conjunt de matrius "gamma" en un espai tridimensional amb mètrica de signatura euclidiana (3, 0). En cinc dimensions espai-temps, les quatre gammas de dalt, juntament amb la cinquena matriu gamma que es presentarà a continuació, generen l'àlgebra de Clifford.

Estructura matemàtica

La propietat que defineix les matrius gamma per generar una àlgebra de Clifford és la relació d'anticomutació

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}={\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }{I}_4,$

on els claudàtors $\{,\}$ representen l'anticomutador, ${\eta }_{\mu \nu }$ és la mètrica de Minkowski amb signatura Plantilla:Nowrap, i $I_4$ és la matriu d'identitat Plantilla:Nowrap.

Aquesta propietat definidora és més fonamental que els valors numèrics utilitzats en la representació específica de les matrius gamma. Les matrius gamma covariants es defineixen per

${\gamma }_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{\gamma }^{\nu }=\{{\gamma }^0,-{\gamma }^1,-{\gamma }^2,-{\gamma }^3\},$

i s'assumeix la notació d'Einstein.

Tingueu en compte que l'altra convenció de signes per a la mètrica, Plantilla:Nowrap requereix un canvi en l'equació definidora:

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=-2{\eta }^{\mu \nu }{I}_4$

o una multiplicació de totes les matrius gamma per $i$, que per descomptat canvia les seves propietats d'hermiticitat que es detallen a continuació. Sota la convenció de signes alternatius per a la mètrica, les matrius gamma covariants es defineixen llavors per

${\gamma }_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{\gamma }^{\nu }=\{-{\gamma }^0,+{\gamma }^1,+{\gamma }^2,+{\gamma }^3\}.$