Mòdul lliure

Si a l'estructura d'espai vectorial hom substitueix el cos d'escalars per un anell, l'estructura obtinguda és la de mòdul. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de mòdul lliure és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol homomorfisme d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una base.

Posem això en una notació adequada: si $M$ i $N$ són espais vectorials i $ℬ$ és una base de $M$, una aplicació $j:ℬ⟶N$ informa quant a quina és la imatge de cada element de la base $ℬ$ de $M$ i només d'això. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme $f:M⟶N$ de manera que si $i:ℬ⟶M$ és la injecció natural, el següent diagrama

és commutatiu. La definició del $A$-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors explota aquest fet exhaustivament.

Definició

Siguin $A$ un anell commutatiu amb unitat i $S$ un conjunt. El $A$-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors $S$, denotat $F_S$, és l'únic $A$-mòdul proveït d'una aplicació $i:S⟶F_S$ que compleix que, per qualsevol altre $A$-mòdul $M$ i qualsevol aplicació $f:S⟶M$, hi ha un únic homomorfisme de mòduls, $\tilde{f}:F_S⟶M$ que fa que el següent diagrama

sigui commutatiu, això és, que $f=\tilde{f}\circ i$.

Unicitat

Comencem per veure que, si $h:F_S⟶F_S$ és un homomorfisme de mòduls que fa $h\circ i=i$, aleshores $h$ és la identitat. En efecte, en el diagrama de la dreta

la commutativitat és òbvia i la unicitat establerta per la definició per a $\tilde{i}=h$ del diagrama de l'esquerra obliga que $\tilde{i}=h={\text{Id}}_{F_S}$.

Sigui ara $(F{\text{'}}_S,i^{\prime })$ un altre mòdul lliure sobre el conjunt de generadors $S$. Tenim els següents diagrames commutatius:

o sigui,

$i^{\prime }=\widetilde{i^{\prime }}\circ i,i=\tilde{i}\circ i^{\prime }$

que, per substitució, dona

$i^{\prime }=\widetilde{i^{\prime }}\circ \tilde{i}\circ i^{\prime }=(\widetilde{i^{\prime }}\circ \tilde{i})\circ i^{\prime },i=\tilde{i}\circ \widetilde{i^{\prime }}\circ i=(\tilde{i}\circ \widetilde{i^{\prime }})\circ i$

Ara bé, segons l'observació inicial, ha de ser

$\widetilde{i^{\prime }}\circ \tilde{i}={\text{Id}}_{F{\text{'}}_S},\tilde{i}\circ \widetilde{i^{\prime }}={\text{Id}}_{F_S}$

i, per tant, $\tilde{i}$ i $\widetilde{i^{\prime }}$ són inverses l'una de l'altra i, en conseqüència, els dos mòduls lliures, $F_S$ i $F{\text{'}}_S$ són isomorfs. A més, per la condició d'unicitat, no hi ha cap altre isomorfisme que respecti les aplicacions $i$ i $i^{\prime }$: tenim, doncs, que aquest isomorfisme és únic.

Generadors. Bases

El conjunt $i(S)$ genera el mòdul lliure $F_S$, això és, qualsevol submòdul $M\subset F_S$ que contingui $i(S)$ és exactament igual a $F_S$. A més, el conjunt $i(S)$ és lliure, és a dir, els seus elements són linealment independents.

Per veure-ho, considerem les aplicacions

$\begin{array}{cc}f:S⟶F_S/M& \\ f(s)=0,& \mathrm{\forall }s\in S\end{array}\begin{array}{cc}\zeta :F_S⟶F_S/M& \\ \zeta (\phi )=0,& \mathrm{\forall }\phi \in F_S\end{array}$

i la projecció canònica $\pi :F_S⟶F_S/M$. Aleshores, els dos diagrames

són òbviament commutatius i, de la unicitat, en resulta $\pi =\zeta$, és a dir, que la projecció canònica és nul·la i, per tant, que $M=F_S$.

La independència lineal dels elements de $i(S)$ es pot establir així: per a un element determinat $s_0\in S$, considerem l'aplicació

$f:S⟶A$

$f(s)=\{\begin{array}{c}0,\text{ si }s\ne s_0\\ 1,\text{ si }s=s_0\end{array}$

En considerar l'anell $A$ com a $A$-mòdul, hi ha el morfisme induït al mòdul lliure $\tilde{f}:F_S⟶A$ que fa $f=\tilde{f}\circ i$. Prenem ara qualsevol suma finita

$\sum _{s\in S}{a}_{s}i(s)=0$

Tenim:

$0=\tilde{f}(0)=\tilde{f}(\sum _{s\in S}{a}_{s}i(s))=\sum _{s\in S}{a}_s\tilde{f}(i(s))=\sum _{s\in S}{a}_{s}f(s)=a_{s_0}f\left(s_0\right)=a_{s_0}$

i, com que això s'esdevé per qualsevol índex $s_0\in S$, resulta que $a_s=0,\mathrm{\forall }s\in S$ i la independència lineal queda demostrada. Aleshores, $i(S)$ és una base del mòdul lliure $F_S$.

Inversament, tot $A$-mòdul $M$ proveït d'una base $ℬ$, és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació

$i:ℬ⟶M$

$i(b)=b$

i ara, si $N$ és un altre $A$-mòdul i $f:ℬ⟶N$ és una aplicació qualsevol de $ℬ$ a $N$, l'aplicació

$\tilde{f}:M⟶M$

$\tilde{f}(\phi )=\tilde{f}\left(\sum _{b\in ℬ}{a}_{b}b\right)=\sum _{b\in ℬ}{a}_{b}f(b)$

és, trivialment, un homomorfisme de $M$ a $N$ i el següent diagrama

és commutatiu.

En particular, si l'anell $A$ és un cos, aleshores $M$ és un espai vectorial sobre $A$ i, com a tal, té almenys una base. En conseqüència, tots els espais vectorials són lliures sobre cadascuna de les seves bases.

En realitat, allò que descriu aquest apartat és que un homomorfisme entre $A$-mòduls, el domini del qual és lliure, queda determinat per les imatges dels elements d'una base qualsevol del domini.

A-mòduls lliures de generació finita

Si $S$ és un conjunt finit, el $A$-mòdul lliure $F_S$ es diu de generació finita o finitament generat. Hom pot considerar, sense inconvenient, substituir el conjunt $S$, de $n$ elements, pel conjunt finit

$\{1,2,\dots ,n\}$

Aleshores, $F_S$ se sol denotar per $A^n$, tot expressant que el mòdul lliure sobre el conjunt $\{1,2,\dots ,n\}$ no és altra cosa que el producte directe de $n$ exemplars de l'anell $A$, els elements en són $n$-tuples d'elements de l'anell, amb la suma de $n$-tuples i la multiplicació per elements de l'anell en la forma usual.

Matrius

Si $A^n$ és l'$A$-mòdul lliure amb generadors $\{1,2,\dots ,n\}$, i $A^m$ és un altre mòdul lliure, una aplicació $f:\{1,2,\dots ,n\}⟶A^m$ determina un únic homomorfisme $\tilde{f}:A^n⟶A^m$ entre ambdós mòduls. La descripció de l'aplicació $f$ se sol fer mitjançant una matriu de $m$ files i $n$ columnes,

$\left(\begin{array}{c}{a}_{i,j}\end{array}\right),i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n$

d'elements de l'anell $A$ de manera que la columna $j$ conté l'expressió de $f(j)\in A^m$ en alguna base d'aquest últim mòdul. La matriu, doncs, determina l'homomorfime $\tilde{f}$ de manera unívoca.

En conseqüència, l'àlgebra de les matrius $m\times n$ d'elements de l'anell $A$ és isomorfa a l'àlgebra dels homomorfismes de $A^n$ a $A^m$.

Existència

Construirem ara efectivament el $A$-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors $S$. El conjunt $F_s$ és el conjunt de totes les funcions $\phi :S⟶A$ que prenen el valor $0\in A$ excepte en un nombre finit d'elements de $S$. Clarament, les operacions

$(\phi +\psi )(s)=\phi (s)+\psi (s),\left(a\phi \right)(s)=a(\phi (s)),\phi ,\psi \in F_S,s\in S,a\in A$

fan de $F_s$ un $A$-mòdul.

Però l'aplicació $i:S⟶F_S$ definida per

$i(s)(t)=\{\begin{array}{c}0,\text{ si }s\ne t\\ 1,\text{ si }s=t\end{array}s,t\in S$

fa de $F_s$ el $A$-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors $S$. En efecte, sigui $f:S⟶M$ una aplicació del conjunt $S$ sobre un cert $A$-mòdul $M$. L'aplicació

$\tilde{f}:F_S⟶M$

$\tilde{f}(\phi )=\sum _{s\in S}\phi (s)f(s)$

és un morfisme d'$A$-mòduls perquè

$\tilde{f}(\phi +\psi )=\sum _{s\in S}(\phi +\psi )(s)f(s)=\sum _{s\in S}(\phi (s)+\psi (s))f(s)=\sum _{s\in S}\phi (s)f(s)+\sum _{s\in S}\psi (s)f(s)=\tilde{f}(\phi )+\tilde{f}(\psi )$

$\tilde{f}(a\phi )=\sum _{s\in S}(a\phi (s))f(s)=\sum _{s\in S}a\phi (s)f(s)=a\sum _{s\in S}\phi (s)f(s)=a\tilde{f}(\phi )$

i, si $\widetilde{f^{\prime }}:F_S⟷M$ és un altre morfisme que fa $\widetilde{f^{\prime }}\circ i=f$, aleshores, per a $\phi \in F_S$, com que $i(S)$ genera $F_S$,

$\phi =\sum _{s\in S}{a}_{s}i(s)$

i

$\widetilde{f^{\prime }}\left(\phi \right)=\widetilde{f^{\prime }}(\sum _{s\in S}{a}_{s}i(s))=\sum _{s\in S}{a}_s\widetilde{f^{\prime }}(i(s))=\sum _{s\in S}{a}_{s}f(s)=\sum _{s\in S}{a}_s\tilde{f}(i(s))=\tilde{f}(\sum _{s\in S}{a}_{s}i(s))=\tilde{f}\left(\phi \right)$

i, per tant, $\widetilde{f^{\prime }}=\tilde{f}$. En conseqüència, el $A$-mòdul $F_S$ així construït és el $A$-mòdul lliure generat pel conjunt $S$.

Referències

• Garrett, Paul (2005). Free modules, PIDs, finitely-generated modules over PIDs (postscript)
• PlanetMath: free modulePlantilla:Enllaç no actiu
• PlanetMath: free vector space over a setPlantilla:Enllaç no actiu