Nombre complex dividit

En àlgebra, un nombre complex dividit (o nombre hiperbòlic, també nombre perplex, nombre doble) es basa en una unitat hiperbòlica Plantilla:Mvar que satisfà $j^2=1.$ Un nombre complex dividit té dues components reals Plantilla:Mvar i Plantilla:Mvar, i s'escriu $z=x+yj.$ El conjugat de Plantilla:Mvar és $z^{*}=x-yj.$ Des que $j^2=1,$ el producte d'un nombre Plantilla:Mvar amb el seu conjugat és $N(z):=z{z}^{*}=x^2-y^2,$ una forma quadràtica isòtropa.

Definició

Un nombre complex dividit és un parell ordenat de nombres reals, escrits en la forma$$z=x+jy$$on Plantilla:Mvar i Plantilla:Mvar són nombres reals i la unitat hiperbòlica Plantilla:Mvar compleix$$j^2=+1$$En el camp dels nombres complexos la unitat imaginària i compleix $i^2=-1.$ El canvi de signe distingeix els nombres complexos dividits dels complexos ordinaris. La unitat hiperbòlica Plantilla:Mvar no és un nombre real sinó una quantitat independent.

La col·lecció de totes aquestes Plantilla:Mvar s'anomena pla del complex dividit . La suma i la multiplicació de nombres complexos dividits es defineixen per$$\begin{array}{cc}(x+jy)+(u+jv)& =(x+u)+j(y+v)\\ (x+jy)(u+jv)& =(xu+yv)+j(xv+yu).\end{array}$$Aquesta multiplicació és commutativa, associativa i es distribueix per suma.

Corba blava: hipèrbola unitària.Corba verda: hipèrbola conjugada.Línies vermelles: assímptomes

Forma conjugada, mòdul i bilineal

Igual que per als nombres complexos, es pot definir la noció de conjugat de complex dividit . Si$$z=x+jy,$$aleshores el conjugat de Plantilla:Mvar es defineix com

$$z^{*}=x-jy.$$

Geometria

L'anàleg de la fórmula d'Euler per als nombres complexos dividits és$$\exp (j\theta )=\cosh (\theta )+j\sinh (\theta ).$$Aquesta fórmula es pot derivar d'una expansió de sèries de potències utilitzant el fet que cosh només té poders parells mentre que el de sinh té poders senars. Per a tots els valors reals de l'angle hiperbòlic Plantilla:Mvar el nombre de complex dividit Plantilla:Math té la norma 1 i es troba a la branca dreta de la hipèrbola unitat. Nombres com Plantilla:Mvar s'han anomenat versors hiperbòlics.