Nombre de Pisot

De testwiki
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, un Nombre de Pisot-Vijayaraghavan, també anomenat simplement Nombre de Pisot o Nombre PV, és un enter algebraic real estrictament superior a 1, que té tots els seus elements conjugats de valor absolut estrictament inferior a 1.

Per exemple, el nombre enter quadràtic α =a+bd, en el que a i b són tots dos enters o la meitat d'un enter senar, admet un conjugat α′=a−bd; les condicions perquè sigui Nombre de Pisot són, doncs:

α>1i−1<α′<1.

Aquestes condicions són satisfetes pel nombre auri φ, ja que:

φ=1+52=1,6180339887...>1iφ′=1−52=−1φ.

La condició general va ser estudiada per G. H. Hardy en relació amb un problema d'aproximació diofàntina. Aquest treball va ser estudiat per Tirukkannapuram Vijayaraghavan Plantilla:Mida, un matemàtic indi de la regió de Madras que va anar a Oxford per a treballar amb Hardy a mitjans dels anys 20. Aquesta mateixa condició apareix també a certs problemes sobre les sèries de Fourier i va ser estudiat més tard per Charles Pisot. El nom, format per aquests dos autors, es fa servir actualment de forma generalitzada.

Els nombres de Pisot-Vijayaraghavan poden ser utilitzats per a generar nombres quasi enters: la n-èsima potència d'un nombre de Pisot tendeix a un enter quan n tendeix a l'infinit. Per exemple,

  • φ21=24476,0000409
  • φ22=39602,9999747
  • φ23=64079,0000156

Aquest efecte és més pronunciat en les nombres de Pisot-Vijayaraghavan engendrats a partir d'equacions de grau més alt.

Aquesta propietat prové del fet que per a cada n, la suma de les n-èsimes potències d'un enter algebraic x i dels seus conjugats és exactament un enter; quan x és un nombre de Pisot, les n-èsimes potències dels (altres) conjuguats tendeixen vers 0 quan n tendeix vers l'infinit.

El nombre de Pisot-Vijayaraghavan més petit, conegut amb el nom de nombre plàstic ou nombre de plata, és l'única arrel real del polinomi x3−x−1 (aproximadament 1,324717957 ...). Aquest nombre va ser identificat com el més petit per Raphaël Salem el 1944 i Carl Ludwig Siegel va demostrar que era el menor possible el mateix any. Siegel també va identificar el segon nombre de Pisot més petit com l'arrel positiva de x4−x3−1 (aproximadament 1,38027756 ...).

Llista de nombres de Pisot

Nombres de Pisot inferiors a 1,618 en ordre creixent.

Valor Arrel de...
1 1,3247179572447460260 x3−x−1
2 1,3802775690976141157 x4−x3−1
3 1,4432687912703731076 x5−x4−x3+x2−1
4 1,4655712318767680267 x3−x2−1
5 1,5015948035390873664 x6−x5−x4+x2−1
6 1,5341577449142669154 x5−x3−x2−x−1
7 1,5452156497327552432 x7−x6−x5+x2−1
8 1,5617520677202972947 x6−2x5+x4−x2+x−1
9 1,5701473121960543629 x5−x4−x2−1
10 1,5736789683935169887 x8−x7−x6+x2−1
11 1,5900053739013639252 x7−x5−x4−x3−x2−x−1
12 1,5911843056671025063 x9−x8−x7+x2−1
13 1,6013473337876367242 x7−x6−x4−x2−1
14 1,6017558616969832557 x10−x9−x8+x2−1
15 1,6079827279282011499 x9−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
16 1,6081283851873869594 x11−x10−x9+x2−1
17 1,6119303965641198198 x9−x8−x6−x4−x2−1
18 1,6119834212464921559 x12−x11−x10+x2−1
19 1,6143068232571485146 x11−x9−x8−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
20 1,6143264149391271041 x13−x12−x11+x2−1
21 1,6157492027552106107 x11−x10−x8−x6−x4−x2−1
22 1,6157565175408433755 x14−x13−x12+x2−1
23 1,6166296843945727036 x13−x11−x10−x9−x8−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
24 1,6166324353879050082 x15−x14−x13+x2−1
25 1,6171692963550925635 x13−x12−x10−x8−x6−x4−x2−1
26 1,6171703361720168476 x16−x15−x14+x2−1
27 1,6175009054313240144 x15−x13−x12−x11−x10−x9−x8−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
28 1,6175012998129095573 x17−x16−x15+x2−1
29 1,6177050699575566445 x15−x14−x12−x10−x8−x6−x4−x2−1
30 1,6177052198884550971 x18−x17−x16+x2−1
31 1,6178309287889738637 x17−x15−x14−x13−x12−x11−x10−x9−x8−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
32 1,6178309858778122988 x19−x18−x17+x2−1
33 1,6179085817671650120 x17−x16−x14−x12−x10−x8−x6−x4−x2−1
34 1,6179086035278053858 x20−x19−x18+x2−1
35 1,6179565199535642392 x19−x17−x16−x15−x14−x13−x12−x11−x10−x9−x8−x7−x6−x5−x4−x3−x2−x−1
36 1,6179565282539765702 x21−x20−x19+x2−1
37 1,6179861253852491516 x19−x18−x16−x14−x12−x10−x8−x6−x4−x2−1
38 1,6179861285528618287 x22−x21−x20+x2−1

Bibliografia

Enllaços externs

Obtingut de «https://ca.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Nombre_de_Pisot&oldid=4062»