Ortocentre

S'anomena ortocentre el punt on es troben les tres altures (o les seves prolongacions) d'un triangle. El terme prové del grec ορθο (orto), recte, en referència a l'angle format entre les bases i les altures. L'ortocentre jau a la recta d'Euler ensems amb el circumcentre i el baricentre del triangle.

Existència

Vegem que les tres altures d'un triangle es tallen, efectivament, en un puntPlantilla:Sfn.Ho deduirem del fet que les tres mediatrius d'un triangle es tallen en un punt, el circumcentre: A partir del triangle $△ A B C$ , construim el triangle $△ U V W$ tot tirant rectes paral·leles als costats del triangle $△ A B C$ pels respectius vèrtexs oposats. Aleshores, els quadrilàters $A B U C$ , $A B C V$ i $A W B C$ són paral·lelograms perquè tenen costats paral·lels dos a dos. Per tant,

$\begin{matrix} A B = V C = C U, \\ B C = W A = A V, \\ A C = W B = B U \end{matrix}$

i els punts $A$ , $B$ i $C$ són, respectivament, els punts mitjans dels costats $V W$ , $W U$ i $U V$ del triangle $△ U V W$ . D'altra banda, com que les altures $h_{a}$ , $h_{b}$ i $h_{c}$ del triangle $△ A B C$ són respectivament perpendiculars als costats $B C$ , $A C$ i $A B$ , també ho són a les seves paral·leles, és a dir als costats $V W$ , $W U$ i $U V$ del triangle $△ U V W$ respectivament, just en els seus punts mitjans. En conseqüència, $h_{a}$ , $h_{b}$ i $h_{c}$ són les mediatrius del triangle $△ U V W$ , que és tallen en el seu circumcentre, és a dir, en el punt $H$

Posició segons el tipus de triangle

Si el triangle és acutangle, totes les altures són a l'interior del triangle i, per tant, també hi és l'ortocentre. Si el triangle és obtusangle, hi ha dues altures, les corresponents als costats de l'angle obtús, fora del triangle i, en conseqüència, l'ortocentre és fora del triangle. En un triangle rectangle, però, cada catet és l'altura corresponent a l'altre catet, cosa que fa que l'ortocentre coincideixi amb el vèrtex de l'angle recte.

Angles iguals, triangles semblants i quadrilàters cíclics determinats per les altures

En els triangles $△ A B C$ , un acutangle i l'altre obtusangle, els punts $P$ , $Q$ i $R$ són els respectius peus de les altures $h_{a}$ , $h_{b}$ i $h_{c}$ en els costats $a = B C$ , $b = A C$ i $c = A B$ (o prolongacions, en el cas del triangle obtusangle).

Angles iguals i triangles semblants

Considerem els triangles rectangles $△ A R C$ i $△ B Q A$ . Com que ambdós comparteixen l'angle agut $\hat{A}$ , els altres dos respectius angles aguts d'aquests dos triangles són iguals: $\hat{A C R} = \hat{Q B A} = α$ , els triangles $△ A R C$ i $△ B Q A$ són triangles semblants

Fem el mateix amb els triangles rectangles $△ B P A$ i $△ C R B$ . Ambdós, també, comparteixen l'angle agut $\hat{B}$ i, per tant, els altres dos respectius angles aguts d'aquests dos triangles són iguals: $\hat{B A P} = \hat{R C B} = β$ , i els triangles $△ B P A$ i $△ C R B$ són semblants.

Igualment, els triangles rectangles $△ C Q B$ i $△ A P C$ comparteixen l'angle agut $\hat{C}$ . Aleshores, els altres dos respectius angles aguts d'aquests dos triangles són iguals: $\hat{C B Q} = \hat{P A C} = γ$ , els triangles $△ C Q B$ i $△ A P C$ són semblants.

Quadrilàters cíclics

En el triangle acutangle $△ A B C$ , els quadrilàters $A R H Q$ , $B P H R$ i $C Q H P$ contenen, cadascun d'ells, una parella de vèrtexs oposats que són els peus de dues altures del triangle. Per tant, en aquests vèrtexs, l'angle és recte i la suma dels angles de vèrtexs oposats fa $18 0^{\circ}$ i, en conseqüència, aquests tres quadrilàters són quadrilàters cíclics.

A més, la igualtat dels angles $\hat{A C R} = \hat{Q B A} = α$ fa que el quadrilàter $B C Q R$ també sigui cíclic, com ho són $C A R P$ i $A B P Q$ per les igualtats respectives $\hat{B A P} = \hat{R C B} = β$ i $\hat{C B Q} = \hat{P A C} = γ$ .

En el triangle obtusangle $△ A B C$ , els quadrilàters cíclics són $A R H Q$ , $B P A Q$ , $C R A P$ , $B C R Q$ , $C H Q P$ i $H B P R$ .

Les altures com a cevianes

Les altures d'un triangle són línies cevianes Plantilla:Sfn. De les semblances de triangles rectangles $A R C \sim B Q A$ , $B P A \sim C R B$ i $C Q B \sim A P C$ , se'n dedueixen aquestes proporcions:

$\frac{A R}{Q A} = \frac{h_{c}}{h_{b}}, \frac{B P}{R B} = \frac{h_{a}}{h_{c}}, \frac{C Q}{P C} = \frac{h_{b}}{h_{a}}$

Aleshores,

\frac{A R}{R B} \frac{B P}{P C} \frac{C Q}{Q A} = \frac{A R}{Q A} \frac{B P}{R B} \frac{C Q}{P C} = \frac{h_{c}}{h_{b}} \frac{h_{a}}{h_{c}} \frac{h_{b}}{h_{a}} = 1

i, segons el teorema de Ceva, les tres altures es tallen en un punt: l'ortocentre del triangle.

Quadrilàters cíclics i existència de l'ortocentre

L'examen d'alguns dels quadrilàters cíclics que es formen en tirar les altures d'un triangle proporciona encara una altra demostració de l'existència de l'ortocentre. Siguin els triangles $△ A B C$ , l'un acutangle i l'altre obtusangle, amb al punt $H$ com a intersecció de les dues altures $h_{b}$ i $h_{c}$ Per veure que el punt $H$ és l'ortocentre a cada triangle, cal demostrar que la recta que passa pel vèrtex $A$ , pel punt $H$ i que talla al costat $a = B C$ en el punt $P$ , és perpendicular al costat $a = B C$ en aquest punt $P$ i que, per tant, conté la tercera altura del triangle.

En el triangle acutangle

Els triangles rectangles $△ A R C$ i $△ B Q A$ comparteixen l'angle $\hat{A}$ i, per tant, els seus altres respectius angles aguts són iguals: $\hat{Q B A} = \hat{A C R} = α$ . Això fa que el quadrilàter $B C Q R$ sigui cíclic i, aleshores, $ε = 18 0^{\circ} - \hat{C}$ , de manera que $\hat{Q R A} = δ = 18 0^{\circ} - ε = \hat{C}$ .

D'altra banda, en el quadrilàter $A R H Q$ , els vèrtexs oposats $R$ i $Q$ són, respectivament, els peus de les altures $h_{c}$ i $h_{b}$ i ho són d'angles rectes, la suma dels quals és $18 0^{\circ}$ . Per tant, aquest quadrilàter és cíclic i $\hat{Q H A} = \hat{Q R A} = δ$ .

Finalment, en el triangle rectangle $△ C Q B$ tenim: $γ = \hat{C B Q} = 9 0^{\circ} - \hat{C} = 9 0^{\circ} - δ$ i en el triangle $△ B P H$ resulta $\hat{B H P} = δ$ i $\hat{P B H} = γ = 9 0^{\circ} - δ$ . En conseqüència, el triangle $△ B P H$ és un triangle rectangle en el vèrtex $P$ , l'angle $\hat{H P B}$ és recte, $A P$ és la tercera altura del triangle $△ A B C$ i el punt $H$ n'és l'ortocentre.

En el triangle obtusangle

Els triangles rectangles $△ C R A$ i $△ A Q B$ comparteixen l'angle suplementari de l'angle $\hat{A}$ . Aleshores, els seus altres respectius angles aguts són iguals: $\hat{R C A} = \hat{A B Q} = α$ . Per tant, el quadrilàter $B C R Q$ és cíclic i $ε = 18 0^{\circ} - β$ , o sigui que $\hat{R Q H} = δ = 18 0^{\circ} - ε = β$ .

A més, en el quadrilàter $A R H Q$ , els vèrtexs oposats $R$ i $Q$ són, respectivament, els peus de les altures $h_{c}$ i $h_{b}$ i ho són d'angles rectes, la suma dels quals és $18 0^{\circ}$ . Aquest quadrilàter és, doncs, cíclic i $\hat{R A H} = \hat{R Q H} = δ$ .

Per acabar, en el triangle rectangle $△ C R B$ s'esdevé que $\hat{B} = 9 0^{\circ} - β = 9 0^{\circ} - δ$ i en el triangle $△ B P A$ tenim que $\hat{P A B} = δ$ i $\hat{B} = 9 0^{\circ} - δ$ . Per tant, el triangle $△ B P A$ és un triangle rectangle en el vèrtex $P$ , l'angle $\hat{B P A}$ és recte, $A P$ és la tercera altura del triangle $△ A B C$ i el punt $H$ n'és l'ortocentre.

El triangle òrtic

Per a un triangle no rectangle, el triangle que té com a vèrtexs els peus de les seves tres altures s'anomena el triangle òrticPlantilla:Sfn Plantilla:Sfn del primer. En un triangle rectangle, els catets són dues de les altures i els dos peus respectius coincideixen en el vèrtex de l'angle recte i, per tant, no hi ha triangle òrtic per a triangles rectangles. Les propietats del triangle òrtic divergeixen per a triangles acutangles i triangles obtusangles.

Triangles acutangles

En el triangle acutangle $△ A B C$ #ja s'ha vist que els quadrilàters $A B P Q$ , $A R H Q$ i $B P H R$ són quadrilàters cíclics. Aleshores,

$\hat{P A Q} = \hat{P B Q} = γ, \hat{H R Q} = \hat{H A Q} = γ, \hat{P R H} = \hat{P B H} = γ$

i, per tant, $\hat{P R H} = \hat{H R Q} = γ$ . En conseqüència, l'altura $h_{c} = R C$ del triangle $△ A B C$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $R$ del triangle òrtic $△ P Q R$ .

De la mateixa manera, amb els quadrilàters cíclics $B C Q R$ , $B P H R$ i $C Q H P$ es demostra que $\hat{Q P H} = \hat{H P R} = α$ i que l'altura $h_{a} = P A$ del triangle $△ A B C$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $P$ del triangle òrtic $△ P Q R$ .

Igualment, del fet que els quadrilàters $C A R P$ , $C Q H P$ i $A R H Q$ són cíclics es dedueix que $\hat{R Q H} = \hat{H Q P} = β$ , i que l'altura $h_{b} = Q B$ del triangle $△ A B C$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $Q$ del triangle òrtic $△ P Q R$ .

Finalment, els costats del triangle $△ A B C$ són perpendiculars a les seves altures i, per tant, a les bisectrius del triangle òrtic, del qual en son bisectrius exteriors.

Resulta:

Plantilla:Teorema

Triangles obtusangles

En el triangle obtusangle $△ A B C$ #ja s'ha vist que els quadrilàters $B C R Q$ , $B P A Q$ i $P C R A$ són quadrilàters cíclics. Aleshores,

$\hat{R B Q} = \hat{R C Q} = α, \hat{A P Q} = \hat{A B Q} = α, \hat{R P A} = \hat{R C A} = α$

i, per tant, $\hat{A P Q} = \hat{R P A} = α$ . En conseqüència, l'altura $h_{a} = P A$ del triangle $△ A B C$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $P$ del triangle òrtic $△ P R Q$ .

També, de l'examen dels quadrilàters cíclics $C H Q P$ , $C R A P$ i $R H Q A$ es dedueix que $\hat{A R P} = \hat{Q R A} = σ$ i que el costat $c = A B$ del triangle $△ A B C$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $R$ del triangle òrtic $△ P R Q$ .

Igualment, com que els quadrilàters $B P R H$ , $R H Q A$ i $B P A Q$ són cíclics resulta que $\hat{A Q R} = \hat{P Q A} = ρ$ , i que elcostat $b = A C$ del triangle $△ A B C$ és la bisectriu corresponent al vèrtex $Q$ del triangle òrtic $△ P R Q$ .

Finalment, les altures $h_{b}$ i $h_{c}$ del triangle $△ A B C$ són perpendiculars, respectivament, als costats $b = A C$ i $c = A B$ i, per tant, a dues de les bisectrius del triangle òrtic, del qual en son bisectrius exteriors.

Tot plegat fa que:

Plantilla:Teorema

Vegeu també

Referències

Plantilla:Referències

Bibliografia

Plantilla:Triangle Plantilla:Autoritat

Ortocentre

Contingut

Existència

Posició segons el tipus de triangle

Angles iguals, triangles semblants i quadrilàters cíclics determinats per les altures

Angles iguals i triangles semblants

Quadrilàters cíclics

Les altures com a cevianes

Quadrilàters cíclics i existència de l'ortocentre

En el triangle acutangle

En el triangle obtusangle

El triangle òrtic

Triangles acutangles

Triangles obtusangles

Vegeu també

Referències

Bibliografia

Menú de navegació

Ortocentre

Existència

Posició segons el tipus de triangle

Angles iguals, triangles semblants i quadrilàters cíclics determinats per les altures

Angles iguals i triangles semblants

Quadrilàters cíclics

Les altures com a cevianes

Quadrilàters cíclics i existència de l'ortocentre

En el triangle acutangle

En el triangle obtusangle

El triangle òrtic

Triangles acutangles

Triangles obtusangles

Vegeu també

Referències

Bibliografia

Menú de navegació

Cerca