Partícula en un potencial central

En mecànica quàntica, un potencial central és un potencial, en el qual l'energia potencial $V$ de cada partícula depèn només de la distància $r$ entre la partícula i el centre del potencial.

Cas general

Considerem una partícula de massa $m$ en un potencial central. La funció d'ona de la partícula ha de satisfer l'equació de Schrödinger independent del temps:$${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-V)\psi =0$$

Com que un potencial central té simetria esfèrica, l'equació de Schrödinger es pot expressar en coordenades esfèriques, amb l'origen de coordenades al centre del potencial:$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \psi }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\phi }^2}+\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-V)\psi =0$$

Si suposem que les solucions de l'equació són separables,$$\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )$$s'obté, substituint i multiplicant per $r^2/RY$:$$\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)+\frac{2m{r}^2}{{\hslash }^2}(E-V)=-\frac{1}{Y\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })-\frac{1}{Y{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\phi }^2}$$

El membre de l'esquerra (part radial) depèn només de $r$ i el membre de la dreta (part angular) depèn només de $\theta$ i $\phi$. Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui $l(l+1)$. D'aquesta manera, obtenim dues equacions:

• Equació radial: $\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right)+\frac{2m{r}^2}{{\hslash }^2}(E-V)=l(l+1)$
• Equació angular: $-\frac{1}{Y\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })-\frac{1}{Y{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\phi }^2}=l(l+1)$

Separació de l'equació angular

L'equació angular es pot multiplicar per $Y{\sin }^2\theta$:$$\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })+\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\phi }^2}=-l(l+1)Y{\sin }^2\theta$$

Si suposem que les solucions de l'equació són separables,$$Y(\theta ,\phi )=\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\phi )$$s'obté, substituint i dividint per $\mathrm{\Theta }\mathrm{\Phi }$:$$\frac{\sin \theta }{\mathrm{\Theta }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\sin \theta \frac{\mathrm{d}\mathrm{\Theta }}{\mathrm{d}\theta })+l(l+1){\sin }^2\theta =-\frac{1}{\mathrm{\Phi }}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}{\phi }^2}$$

El membre de l'esquerra (part polar) depèn només de $\theta$ i el membre de la dreta (part azimutal) depèn només de $\phi$. Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui $m^2$. D'aquesta manera, obtenim dues equacions:

• Equació polar: $\frac{\sin \theta }{\mathrm{\Theta }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\sin \theta \frac{\mathrm{d}\mathrm{\Theta }}{\mathrm{d}\theta })+l(l+1){\sin }^2\theta =m^2$
• Equació azimutal: $-\frac{1}{\mathrm{\Phi }}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}{\phi }^2}=m^2$

Equació azimutal

La solució general de l'equació azimutal és:$${\mathrm{\Phi }}_m=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m\phi }+B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m\phi }$$on $A$ i $B$ són constants arbitràries.

Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i periòdica en $\phi$, la funció $\mathrm{\Phi }$ també ha de ser univaluada i periòdica en $\phi$, és a dir, $\mathrm{\Phi }(\phi )=\mathrm{\Phi }(\phi +2\pi )$. En aquest cas, el nombre $m$, que s'anomena nombre quàntic magnètic, ha de ser un nombre enter:$$m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

Les solucions independents ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m\phi }$ coincideixen amb les solucions independents ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m\phi }$ per a $m$ negatius. Per tant, podem prendre $B=0$ sense pèrdua de generalitat:$${\mathrm{\Phi }}_m=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m\phi }$$

Normalitzant ${\mathrm{\Phi }}_m$, s'obté:$$1=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\mathrm{\Phi }}_m{\mathrm{\Phi }}_m^{*}\mathrm{d}\phi =|A{|}^2\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{d}\phi =2\pi |A{|}^2⟹A=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$$

Per tant, les funcions azimutals normalitzades s'expressen com:$${\mathrm{\Phi }}_m=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi }$$

Equació polar

L'equació polar es pot multiplicar per $\mathrm{\Theta }/{\sin }^2\theta$:$$\frac{1}{\sin \theta }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\sin \theta \frac{\mathrm{d}\mathrm{\Theta }}{\mathrm{d}\theta })+[l(l+1)-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]\mathrm{\Theta }=0$$

Fent el canvi de variables $x=\cos \theta$:$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\sin }^2\theta \frac{\mathrm{d}\mathrm{\Theta }}{\mathrm{d}x}\right)+[l(l+1)-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]\mathrm{\Theta }=0$$

Fent la substitució ${\sin }^2\theta =1-x^2$:$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Theta }}{\mathrm{d}x}]+[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]\mathrm{\Theta }=0$$

Finalment, aplicant la regla de la derivada d'un producte, s'obté l'expressió següent:$$(1-x^2)\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{\Theta }}{\mathrm{d}{x}^2}-2x\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Theta }}{\mathrm{d}x}+[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]\mathrm{\Theta }=0$$que és una equació associada de Legendre.

Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i contínuament diferenciable, la funció $\mathrm{\Theta }$ també ha de ser univaluada i contínuament diferenciable. En aquest cas, el nombre $l$, que s'anomena nombre quàntic azimutal, ha de ser un nombre enter. A més, l'equació associada de Legendre té solucions no nul·les quan $|m|\le l$, és a dir, quan$$m=0,\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm l$$

La solució general de l'equació associada de Legendre per a $x=\cos \theta$ és:$${\mathrm{\Theta }}_{lm}=C{P}_l^m(\cos \theta )+D{Q}_l^m(\cos \theta )$$on $C$ i $D$ són constants arbitràries, i $P_l^m$ i $Q_l^m$ són les funcions associades de Legendre de primera i segona espècie, respectivament.

Bibliografia

• L. D. Landau i E. M. Lifshitz. Quantum mechanics. Non-relativistic theory. 2a ed. Oxford: Pergamon, 1965.
• E. Merzbacher. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: Wiley, 1998.
• L. I. Schiff. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: McGraw-Hill, 1968.
• L. Pauling i E. B. Wilson. Introduction to quantum mechanics. Nova York: McGraw-Hill, 1935.