Polinomis d'Hermite

Els polinomis d'Hermite són un exemple de polinomis ortogonals que troben el seu principal àmbit d'aplicacions en mecànica quàntica, sobretot en l'estudi de l'oscil·lador harmònic unidimensional. Són nomenats així en honor de Charles Hermite.

Els cinc primers polinomis d'Hermite (probabilístics').

Definició

Els polinomis d'Hermite: Plantilla:Equació es defineixen com els polinomis d'Hermite probabilístics o, de vegades, com els polinomis d'Hermite físics: Plantilla:Equació Aquestes dues definicions no són exactament equivalents, una és un reescalat trivial de l'altra: Plantilla:Equació Els polinomis físics poden expressar-se com: Plantilla:Equació

Propietats

Ortogonalitat

$H_n$és un polinomi de grau n, amb n = 0, 1, 2, 3,... Aquests polinomis són ortogonals respecte de la funció pes (mesura): Plantilla:Equació o Plantilla:Equació és a dir, Plantilla:Equació Plantilla:Equació o Plantilla:Equació on δ _ij és la delta de Kronecker, que val la unitat quan n = m i zero en un altre cas. Els polinomis probabilístics són ortogonals respecte de la funció de densitat de probabilitat normal.

Fórmules de recurrència

Els polinomis d'Hermite (en la seva forma "física") satisfan les següents relacions de recurrència: Plantilla:Equació Plantilla:Equació

Descomposició en sèrie de funcions

Tota funció f contínua pot expressar-se com sèrie infinita en termes de polinomis d'Hermite: Plantilla:Equació On les constants de l'anterior sèrie venen donades per: Plantilla:Equació

Altres resultats

$H_n(-x)=(-1{)}^n{H}_n(x)$

$H_{2n-1}(0)=0$

$H_{2n}^{\mathrm{P}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(0)=(-1{)}^n{2}^n(1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))$

Equació diferencial d'Hermite

Els polinomis d'Hermite són solucions de l'equació diferencial d'Hermite: Plantilla:Equació que en forma canònica es pot escriure com: Plantilla:Equació

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Esquema d'Askey