Problema de càlcul de Steiner

El problema de Steiner, formulat i resolt per Plantilla:Harvtxt, és el problema de trobar el màxim de la funció

$f(x)=x^{1/x}.$

Duu el nom del matemàtic suís Jakob Steiner.

El màxim es troba a $x=e$, on e denota la base del logaritme natural. Això es pot determinar resolent el problema equivalent de maximitzar

$g(x)=\ln f(x)=\frac{\ln x}{x}.$

Aplicant el test de la primera derivada, la derivada de $g$ és

$g^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2},$

així que $g^{\prime }(x)$ és positiu per $0<x<e$ i negatiu per $x>e$, cosa que implica que $g(x)$ – i, per tant, $f(x)$ – és creixent per $0<x<e$ i decreixent per $x>e.$ Així doncs, $x=e$ és l'únic màxim global de $f(x).$

Referències

• Plantilla:Citation